《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

(3)先化简,再求值：$(a + b)^2 + (a - b)(2a + b) - 3a^2$,其中$a = -2 - \sqrt{3}$,$b = \sqrt{3} - 2$.
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答案： 【解析】：首先对原式进行化简，
$\begin{aligned}&(a + b)^2 + (a - b)(2a + b) - 3a^2\\=&a^2 + 2ab + b^2 + (a×2a + a× b - b×2a - b× b) - 3a^2\\=&a^2 + 2ab + b^2 + (2a^2 + ab - 2ab - b^2) - 3a^2\\=&a^2 + 2ab + b^2 + 2a^2 - ab - b^2 - 3a^2\\=&(a^2 + 2a^2 - 3a^2) + (2ab - ab) + (b^2 - b^2)\\=&ab\end{aligned}$
接下来计算$ab$的值，已知$a = -2 - \sqrt{3}$，$b = \sqrt{3} - 2$，则：
$\begin{aligned}ab&=(-2 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - 2)\\&=(-2)(\sqrt{3}) + (-2)(-2) - \sqrt{3}×\sqrt{3} + (-\sqrt{3})(-2)\\&=-2\sqrt{3} + 4 - 3 + 2\sqrt{3}\\&=( -2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) + (4 - 3)\\&=1\end{aligned}$
【答案】：1

10. 观察下列关于自然数的等式：
$3^2 - 4 × 1^2 = 5$①,
$5^2 - 4 × 2^2 = 9$②,
$7^2 - 4 × 3^2 = 13$③,
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第$4$个等式：$9^2 - 4 ×$4$^2 = $17；
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示),并验证其正确性.

答案： 解:
(1)4，17；
(2)第$n$个等式:$(2n+1)^{2}-4n^{2}=2(2n+1)-1$，
验证:左边$=4n^{2}+4n+1-4n^{2}=4n+1$，
右边$=4n+2-1=4n+1$，
$\because$左边$=$右边，
$\therefore (2n+1)^{2}-4n^{2}=2(2n+1)-1$。

1. 观察下列等式：
$12 × 231 = 132 × 21$,
$13 × 341 = 143 × 31$,
$23 × 352 = 253 × 32$,
$34 × 473 = 374 × 43$,
$62 × 286 = 682 × 26$,
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子成为“数字对称等式”：
①$52 ×$275$=$572$× 25$；
②63$× 396 = 693 ×$36.
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为$a$,个位数字为$b$,且$2 \leq a + b \leq 9$,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(用含$a$,$b$的式子表示),并证明.

答案： 解:
(1)①$\because 5+2=7$，
$\therefore$左边的三位数是275，右边的三位数是572，
故答案为:275，572；
②$\because$左边的三位数是396，
$\therefore$左边的两位数是63，右边的两位数是36，
故答案为:63，36；
(2)$\because$左边两位数的十位数字为$a$，个位数字为$b$，
$\therefore$左边的两位数是$10a+b$，三位数是$100b+10(a+b)+a$，右边的两位数是$10b+a$，三位数是$100a+10(a+b)+b$，
$\therefore$一般规律的式子为$(10a+b)[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b](10b+a)$且$2\leqslant a+b\leqslant 9$，
证明:左边$=(10a+b)(100b+10a+10b+a)=(10a+b)(110b+11a)=11(10a+b)(10b+a)$，
右边$=(100a+10a+10b+b)(10b+a)=(110a+11b)(10b+a)=11(10a+b)(10b+a)$，
$\because$左边$=$右边，$\therefore$成立。