《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

(2)某工厂现有甲种原料226kg,乙种原料250kg,计划利用这两种原料生产$A$、$B$两种产品共40件,生产$A$、$B$两种产品用料情况如表：
| |需要用甲原料|需要用乙原料|
|一件$A$产品|7kg|4kg|
|一件$B$产品|3kg|10kg|
若设生产$A产品x$件,求$x$的值,并说明有哪几种符合题意的生产方案。

答案： 【解析】：设生产$A$产品$x$件，则生产$B$产品$(40 - x)$件。根据甲种原料不超过$226kg$，可得$7x + 3(40 - x) \leq 226$；根据乙种原料不超过$250kg$，可得$4x + 10(40 - x) \leq 250$。解第一个不等式：$7x + 120 - 3x \leq 226$，$4x \leq 106$，$x \leq 26.5$。解第二个不等式：$4x + 400 - 10x \leq 250$，$-6x \leq -150$，$x \geq 25$。所以$x$的取值范围是$25 \leq x \leq 26.5$，因为$x$为正整数，所以$x = 25$或$26$。当$x = 25$时，$40 - x = 15$；当$x = 26$时，$40 - x = 14$。
【答案】：$x$的值为25或26，共有2种符合题意的生产方案，方案1：生产$A$产品25件，$B$产品15件；方案2：生产$A$产品26件，$B$产品14件。

9. 某超市销售甲、乙两种商品,甲商品每件进价10元,售价15元；乙商品每件进价30元,售价40元。
(1)若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件,恰好用去1600元,求购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润不少于600元,但又不超过610元,请你帮助该超市设计相应的进货方案。

答案： 解：
(1) 设购进甲种商品 $a$ 件，则购进乙种商品 $(80 - a)$ 件，
依题意得：$10a + 30(80 - a) = 1600$，解得：$a = 40$，
∴ $80 - a = 40$，
答：购进甲种商品 40 件，购进乙种商品 40 件；
(2) 设购进甲种商品 $x$ 件，则购进乙种商品 $(80 - x)$ 件，
依题意可得：$\begin{cases}(15 - 10)x + (40 - 30)(80 - x) \geq 600\\(15 - 10)x + (40 - 30)(80 - x) \leq 610\end{cases}$，
解得：$38 \leq x \leq 40$，
∵ $x$ 为整数，
∴ $x = 38, 39, 40$，
故有三种进货方案：
方案一：购进甲种商品 38 件，乙种商品 42 件；
方案二：购进甲种商品 39 件，乙种商品 41 件；
方案三：购进甲种商品 40 件，乙种商品 40 件。

例1 学校组织同学们春游,租用45座和30座两种型号的客车,若租用45座客车$x$辆,租用30座客车$y$辆,则不等式“$45x + 30y ≥ 500$”表示的实际意义是(A)
A.两种客车总的载客量不少于500人
B.两种客车总的载客量不超过500人
C.两种客车总的载客量不足500人
D.两种客车总的载客量超过500人

答案： A

1. 用适当的不等式表示下列关系：
(1)$a$是非负数：$a \geq 0$；
(2)$x$与2的差不足15：$x - 2 ＜ 15$。

答案：
(1) $a \geq 0$；
(2) $x - 2 ＜ 15$

2. 按商品质量规定：商店出售的标明500g的袋装食盐,其实际克数与所标克数相差不能超过5g,设实际克数是$xg$,则$x$应满足的条件是$495 \leq x \leq 505$。

答案： $495 \leq x \leq 505$

例2 解不等式：$3x - 2 ＞ πx + 5$。

答案： 【解析】：解不等式$3x - 2 ＞ πx + 5$，首先移项可得$3x - πx ＞ 5 + 2$，合并同类项得$(3 - π)x ＞ 7$。因为$3 - π$是负数（$π\approx3.14$，所以$3 - π\lt0$），根据不等式的性质，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向需要改变，所以系数化为1得$x ＜ \frac{7}{3 - π}$。
【答案】：$x ＜ \frac{7}{3 - π}$

3. 若$x ＞ y$,则下列式子错误的是(B)
A.$x - 3 ＞ y - 3$
B.$-3x ＞ -3y$
C.$x + 3 ＞ y + 3$
D.$\frac{x}{3} ＞ \frac{y}{3}$

答案： B

4. 已知$x ＞ y$,若对任意实数$a$,有下列结论：①$ax ＞ ay$；②$a^2 - x ＞ a^2 - y$；③$a^2 + x ≤ a^2 + y$；④$a^2x ≥ a^2y$,其中正确的是(D)
A.①
B.②
C.③
D.④

答案： D

例3 下列四个不等式组：$-3 ＜ x ＜ 2$；$-3 ≤ x ＜ 2$；$-3 ＜ x ≤ 2$；$-3 ≤ x ≤ 2$,其中一个不等式组的解集在数轴上的正确表示如图所示,这个不等式组是$-3 ＜ x ≤ 2$。

答案： $-3 ＜ x ≤ 2$