《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

23. (8分)先化简,再求值:$(\frac{x + 2}{x}-\frac{x - 1}{x - 2})÷\frac{x - 4}{x^{2}-4x + 4}$,其中$x是3x + 7 ＞ 1$的负整数解.

答案： 解：原式$= [\frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x - 2)} - \frac{x(x - 1)}{x(x - 2)}] \cdot \frac{(x - 2)^{2}}{(x - 4)}$
$= \frac{x^{2} - 4 - x^{2} + x}{x(x - 2)} \cdot \frac{(x - 2)^{2}}{x - 4}$
$= \frac{x - 4}{x(x - 2)} \cdot \frac{(x - 2)^{2}}{x - 4}$
$= \frac{x - 2}{x}$，
$\because 3x + 7 ＞ 1$，$\therefore 3x ＞ -6$，解得$x ＞ -2$，
$\because x$是不等式$3x + 7 ＞ 1$的负整数解，
$\therefore x = -1$，
$\therefore$ 原式$= \frac{-1 - 2}{-1} = 3$。

24. (8分)经市场调查,某种优质品的黄瓜质量为$(3\pm 0.25)\text{kg}$的最为畅销,为了控制黄瓜的质量,农科所采用了$A$,$B$两种种植技术进行实验,现从这两种技术种植的黄瓜中各随机地抽取20株,记录每株上黄瓜的质量如下(单位:$\text{kg}$):
$A$:$2.1\ 2.8\ 3.4\ 2.9\ 2.7\ 3.0\ 2.9\ 2.8\ 3.8\ 3.2\ 3.0\ 2.8\ 3.2\ 2.9\ 3.2\ 3.0\ 2.8\ 3.2\ 3.1\ 3.0$
$B$:$2.5\ 2.9\ 2.8\ 2.5\ 3.2\ 3.1\ 3.0\ 2.5\ 2.7\ 2.9\ 3.4\ 3.5\ 2.6\ 3.3\ 2.8\ 3.0\ 3.2\ 3.3\ 3.0\ 3.3$
(1)若质量为$(3\pm 0.25)\text{kg}$的黄瓜为优等品,根据以上信息完成表格:
| |优等品数量/株|平均数|方差|
|$A$| |$2.990$|$0.103$|
|$B$| |$2.975$|$0.093$|
(2)请你分别从优等品数量、平均数和方差三方面对$A$,$B$两种技术作出评价,从市场销售的角度看,你认为推广哪种技术较好?

答案： 解：
(1) 16，10；
(2) 从优等品数量的角度看，因 A 技术种植的黄瓜优等品数量较多，故 A 技术较好；
从平均数的角度看，因 A 技术种植的黄瓜质量的平均数更接近 3kg，故 A 技术较好；
从方差的角度看，因 B 技术种植的黄瓜质量的方差更小，故 B 技术种植的黄瓜质量更稳定；
从市场销售角度看，因优等品更畅销，A 技术种植的黄瓜优等品数量多，且平均质量更接近 3kg，故推广 A 技术较好。

25. (10分)如图,D是△ABC的边AB上一点,CN// AB,DN交AC于点M,已知MA = MC.
(1)求证:CD = AN;
(2)若AC⊥DN,∠CAN = 30°,MN = 1,求四边形ADCN的面积.
(1) 证明：∵ CN // AB，∴ ∠DAC = ∠ACN，
在△AMD和△CMN中，
$\begin{cases}\angle DAM = \angle NCM\\MA = MC\\\angle AMD = \angle CMN\end{cases}$，
∴ △AMD ≌ △CMN(ASA)，∴ AD = CN，
∵ AD // CN，
∴ 四边形ADCN是平行四边形，
∴ CD = AN；
(2) 解：∵ AC⊥DN，∠CAN = 30°，MN = 1，
∴ AN = 2MN = 2，∴ AM = $\sqrt{AN^{2} - MN^{2}}$ = $\sqrt{3}$，
∴ S△AMN = $\frac{1}{2}$AM·MN = $\frac{1}{2}$ × $\sqrt{3}$ × 1 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵ 四边形ADCN是平行四边形，
∴ S四边形ADCN = 4S△AMN = 2$\sqrt{3}$。

答案：
(1) 证明：$\because CN // AB$，$\therefore \angle DAC = \angle ACN$，
在$\triangle AMD$和$\triangle CMN$中，
$\begin{cases}\angle DAM = \angle NCM\\MA = MC\\\angle AMD = \angle CMN\end{cases}$，
$\therefore \triangle AMD \cong \triangle CMN(ASA)$，$\therefore AD = CN$，
$\because AD // CN$，
$\therefore$ 四边形$ADCN$是平行四边形，
$\therefore CD = AN$；
(2) 解：$\because AC \perp DN$，$\angle CAN = 30^{\circ}$，$MN = 1$，
$\therefore AN = 2MN = 2$，$\therefore AM = \sqrt{AN^{2} - MN^{2}} = \sqrt{3}$，
$\therefore S_{\triangle AMN} = \frac{1}{2}AM \cdot MN = \frac{1}{2} × \sqrt{3} × 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\because$ 四边形$ADCN$是平行四边形，
$\therefore S_{四边形ADCN} = 4S_{\triangle AMN} = 2\sqrt{3}$。