《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

10. 把下列各式分解因式:
(1) $ x ^ { 2 } - x - 9 y ^ { 2 } - 3 y $;
(2) $ 2 a x - 10 a y + 5 b y - b x $.

答案：
(1)解：原式$=x^2 - 9y^2 - x - 3y=(x + 3y)(x - 3y) - (x + 3y)=(x + 3y)(x - 3y - 1)$；
(2)解：原式$=2a(x - 5y) - b(x - 5y)=(2a - b)(x - 5y)$。

例 1 分解因式: $ 15 a ^ { 2 } + 45 a b + 5 a $.

答案： 【解析】：分解因式时，应先提取各项的公因式。观察多项式$15a^2 + 45ab + 5a$，各项系数的最大公约数是5，各项都含有的字母是$a$，且$a$的最低次幂是1，所以公因式为$5a$。
提取公因式$5a$后：
第一项$15a^2÷5a = 3a$；
第二项$45ab÷5a = 9b$；
第三项$5a÷5a = 1$，注意该项提取公因式后余下的1不能省略。
所以分解因式的结果为$5a(3a + 9b + 1)$。
【答案】：$5a(3a + 9b + 1)$

1. 将 $ 3 a ^ { 2 } m - 6 a m n + 3 a $ 分解因式, 下面是四位同学分解的结果:
① $ 3 a m ( a - 2 n + 1 ) $; ② $ 3 a ( a m + 2 m n - 1 ) $;
③ $ 3 a ( a m - 2 m n ) $; ④ $ 3 a ( a m - 2 m n + 1 ) $.
其中正确的是 (D)
A.①
B.②
C.③
D.④

答案： D

2. 分解因式:
(1) $ 3 x ^ { 2 } - 6 x y + x $;
(2) $ - 8 x ^ { 4 } y + 6 x ^ { 3 } y ^ { 2 } - 2 x ^ { 3 } y $.

答案：
(1)解：原式$=x(3x - 6y + 1)$；
(2)解：原式$=-2x^3y(4x - 3y + 1)$。

例 2 分解因式: $ ( 2 a - 1 ) ( a + 1 ) - 7 ( a + 1 ) $.

答案： 【解析】：观察原式，发现两项中均含有公因式$(a + 1)$，先提取公因式$(a + 1)$，得到$(a + 1)[(2a - 1) - 7]$，化简括号内的式子可得$(a + 1)(2a - 8)$。此时注意到$2a - 8$还可以继续提取公因式$2$，即$2(a - 4)$，所以最终分解结果为$2(a + 1)(a - 4)$。
【答案】：$2(a + 1)(a - 4)$

3. 把下列各式分解因式:
(1) $ 3 x ^ { 2 } - 12 $;
(2) $ ( a + b ) ^ { 2 } + ( a + b ) ( a - 3 b ) $;
(3) $ ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } $.

答案：
(1)解：原式$=3(x^2 - 4) = 3(x + 2)(x - 2)$；
(2)解：原式$=(a + b)(a + b + a - 3b)=(a + b)(2a - 2b)=2(a + b)(a - b)$；
(3)解：原式$=(x^2 + y^2 + 2xy)(x^2 + y^2 - 2xy)=(x + y)^2(x - y)^2$。

例 3 分解因式: $ m n ( m - n ) - m ( n - m ) ^ { 2 } $.

答案： 【错解】原式 $ = m n ( m - n ) + m ( m - n ) ^ { 2 } = m ( m - n ) [ n + ( m - n ) ] = m ^ { 2 } ( m - n ) $.
【错因分析】将式子 $ ( n - m ) ^ { 2 } $ 转化为 $ ( m - n ) ^ { 2 } $ 时, 值相等, 前面符号不能变.
【正解】原式 $ = m n ( m - n ) - m ( m - n ) ^ { 2 } = m ( m - n ) [ n - ( m - n ) ] = m ( m - n ) ( 2 n - m ) $.

4. 分解因式:
(1) $ 10 a ( x - y ) ^ { 2 } + 5 a x ( y - x ) $;
(2) $ 2 m ( m - n ) ^ { 2 } - 8 m ^ { 2 } ( n - m ) $.

答案：
(1)解：原式$=10a(x - y)^2 - 5ax(x - y)$
$=5a(x - y)[2(x - y) - x]$
$=5a(x - y)(2x - 2y - x)$
$=5a(x - y)(x - 2y)$；
(2)解：原式$=2m(m - n)^2 + 8m^2(m - n)$
$=2m(m - n)[(m - n) + 4m]$
$=2m(m - n)(m - n + 4m)$
$=2m(m - n)(5m - n)$。