《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

1. 不等式$2x ＜ a$的正整数解是$x = 1$、$2$,则$a$的取值范围为$4 ＜ a \leq 6$。

答案： $4 ＜ a \leq 6$

2. 已知函数$y = \begin{cases}2x + 2(x ＞ 0) \\(a - 1)x + a - \frac{1}{2}(x ≤ 0)\end{cases} 的值随x$值的增大而增大,那么$a$的取值范围为$1 ＜ a \leq \frac{5}{2}$。

答案： $1 ＜ a \leq \frac{5}{2}$

3. 如图,函数$y = kx + b$($k ≠ 0$)的图象经过点$B(2, 0)$,与函数$y = 2x的图象交于点A$,则不等式$0 ＜ kx + b ＜ 2x$的解集为$1 ＜ x ＜ 2$。

答案： $1 ＜ x ＜ 2$

4. 当$k$为何整数时,方程组$\begin{cases}2x + y = k \\x + 3y = 6\end{cases} $的解是非负数？
解：解方程组得 $\begin{cases}x = \frac{3k - 6}{5}\\y = \frac{12 - k}{5}\end{cases}$，
∵方程组的解是非负数，
∴$\begin{cases}\frac{3k - 6}{5} \geq 0\\frac{12 - k}{5} \geq 0\end{cases}$，解得 $2 \leq k \leq 12$，
∵ $k$ 是整数，
∴ $k=$2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。

答案： 解：解方程组得 $\begin{cases}x = \frac{3k - 6}{5}\\y = \frac{12 - k}{5}\end{cases}$，
∵方程组的解是非负数，
∴$\begin{cases}\frac{3k - 6}{5} \geq 0\frac{12 - k}{5} \geq 0\end{cases}$，解得 $2 \leq k \leq 12$，
∵ $k$ 是整数，
∴ $k = 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12$。

5. 【提出问题】已知$x - y = 2$,且$x ＞ 1$,$y ＜ 0$,试确定$x + y$的取值范围。
【分析问题】先根据已知条件用一个量(如$y$)表示另一个量(如$x$),然后根据题中已知量$x$的取值范围,构建关于另一个量$y$的不等式,结合题中给出的量$y$的取值范围,从而确定该量$y$的取值范围,同法再确定另一未知量$x$的取值范围,最后利用不等式的性质即可得解。
【解决问题】解：∵$x - y = 2$,∴$x = y + 2$,
又∵$x ＞ 1$,∴$y + 2 ＞ 1$,∴$y ＞ -1$,
又∵$y ＜ 0$,∴$-1 ＜ y ＜ 0$ ①,
同理得$1 ＜ x ＜ 2$ ②,
由① + ②得$-1 + 1 ＜ y + x ＜ 0 + 2$,
即$0 ＜ x + y ＜ 2$,
∴$x + y的取值范围是0 ＜ x + y ＜ 2$。
【尝试应用】已知$x - y = -3$,且$x ＜ -1$,$y ＞ 1$,求$x + y$的取值范围。
解：∵ $x - y = -3$，∴ $x =$$y - 3$，
又∵ $x ＜ -1$，∴$y - 3 ＜ -1$，∴ $y ＜$2，
又∵ $y ＞ 1$，∴$1 ＜ y ＜ 2$ ①，
同理得$-2 ＜ x ＜ -1$ ②，
由 ① + ② 得$1 - 2 ＜ x + y ＜ 2 - 1$，即 $-1 ＜ x + y ＜ 1$，
∴ $x + y$ 的取值范围是 $-1 ＜ x + y ＜ 1$。

答案： 解：
∵ $x - y = -3$，
∴ $x = y - 3$，
又
∵ $x ＜ -1$，
∴ $y - 3 ＜ -1$，
∴ $y ＜ 2$，
又
∵ $y ＞ 1$，
∴ $1 ＜ y ＜ 2$ ①，
同理得 $-2 ＜ x ＜ -1$ ②，
由 ① + ② 得 $1 - 2 ＜ x + y ＜ 2 - 1$，即 $ -1 ＜ x + y ＜ 1$，
∴ $x + y$ 的取值范围是 $ -1 ＜ x + y ＜ 1$。

6. 某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如表：
| |甲|乙|
|进价(元/件)|15|35|
|售价(元/件)|20|45|
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元,问甲、乙两种商品分别购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于4300元,且销售完这批商品后获利多于1260元,请问有哪几种进货方案？并直接写出其中获利最大的进货方案。

答案： 解：
(1) 设甲种商品购进 $x$ 件，乙种商品购进 $y$ 件，
根据题意得 $\begin{cases}x + y = 160\\(20 - 15)x + (45 - 35)y = 1100\end{cases}$，
解得 $\begin{cases}x = 100\\y = 60\end{cases}$，
答：甲种商品购进 100 件，乙种商品购进 60 件；
(2) 设甲种商品购进 $a$ 件，则乙种商品购进 $(160 - a)$ 件，
根据题意得 $\begin{cases}15a + 35(160 - a) ＜ 4300\\(20 - 15)a + (45 - 35)(160 - a) ＞ 1260\end{cases}$，
解得 $65 ＜ a ＜ 68$，
∵ $a$ 为非负整数，
∴ $a = 66$ 或 67，
有 2 种进货方案，
方案一：购进甲种商品 66 件，乙种商品 94 件，
利润为 $(20 - 15) × 66 + (45 - 35) × 94 = 1270$ 元，
方案二：购进甲种商品 67 件，乙种商品 93 件，
利润为 $(20 - 15) × 67 + (45 - 35) × 93 = 1265$ 元，
∵ $1270$ 元 $ ＞ 1265$ 元，
∴方案一获利最大，
答：有 2 种进货方案，其中获利最大的进货方案是购进甲种商品 66 件，乙种商品 94 件。