《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

13. 如图,在菱形$ABCD$中,按如下步骤作图：
①分别以点$C和点D$为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径作弧,两弧交于点$M和点N$；②作直线$MN$,且$MN恰好经过点A$,与$CD交于点E$,连接$BE$,若$AD = 6$,则$BE$的长为______$3\sqrt{7}$.

答案： $3\sqrt{7}$

14. (本小题满分10分,每题5分)
(1)因式分解：$a^{2}(a - b)^{3}+b^{2}(b - a)^{3}$；
(2)先化简,再求值：$(x-\frac{2x - 1}{x})÷\frac{x^{2}-x}{x^{2}}$,其中$x = 3$.

答案： 解：
(1)原式$=(a - b)^3(a^2 - b^2)$
$=(a - b)^4(a + b)$；
(2)原式$=(\frac{x^2}{x} - \frac{2x - 1}{x}) \cdot \frac{x^2}{x(x - 1)}$
$=\frac{x^2 - 2x + 1}{x} \cdot \frac{x^2}{x(x - 1)}$
$=\frac{(x - 1)^2}{x} \cdot \frac{x^2}{x(x - 1)}$
$=x - 1$，
当$x = 3$时，原式$=3 - 1 = 2$。

15. (本小题满分10分,每题5分)
(1)解不等式组：$\begin{cases}3(x - 2)\geqslant x - 4①\frac{2x + 1}{3}\gt x - 1②\end{cases} $,并写出它的所有整数解；
(2)解方程：$\frac{x}{x - 2}-\frac{1}{x^{2}-4}= 1$.

答案： 解：
(1)解不等式①得：$x \geq 1$，
解不等式②得：$x ＜ 4$，
∴不等式组的解集为$1 \leq x ＜ 4$，
∴不等式组的所有整数解为$x = 1$或$2$或$3$；
(2)去分母得：$x(x + 2) - 1 = x^2 - 4$，
解得：$x = -\frac{3}{2}$，
检验：将$x = -\frac{3}{2}$代入$(x + 2)(x - 2)$中，得$(x + 2)(x - 2) = -\frac{7}{4} \neq 0$，
∴$x = -\frac{3}{2}$是原方程的解，
∴原方程的解为$x = -\frac{3}{2}$。

16. (本小题满分8分)
如图,在平面直角坐标系中,每个方格的边长均为1个单位长度,$\triangle ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,4)$,$B(4,2)$,$C(3,5)$.
(1)将$\triangle ABC$平移,使点$A移动到点A_{1}$,请画出平移后得到的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
(2)将$\triangle ABC绕点O顺时针旋转90^{\circ}$,请画出旋转后得到的$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$；
(3)若点$P(a,b)是\triangle ABC$内一点,请写出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}内的对应点P_{1}$的坐标.

答案：
解：
(1)如图，$\triangle A_1B_1C_1$即为所求；

(2)如图，$\triangle A_2B_2C_2$即为所求；
(3)由
(1)知$A_1(-6, 2)$，则点$A(1, 4)$向左平移$7$个单位长度，向下平移$2$个单位长度得到点$A_1$，
∴点$P_1$的坐标为$(a - 7, b - 2)$。