《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

例 2 计算: $ \frac{2a}{a^2 - 4} - \frac{1}{a - 2} $.

答案： 【解析】：首先对原式中的分母进行因式分解，$a^2 - 4$可分解为$(a + 2)(a - 2)$，所以原式变为$\frac{2a}{(a + 2)(a - 2)} - \frac{1}{a - 2}$。为进行减法运算，需将第二个分式的分母化为与第一个分式相同的$(a + 2)(a - 2)$，给第二个分式的分子分母同时乘以$(a + 2)$，得到$\frac{a + 2}{(a + 2)(a - 2)}$。此时两个分式分母相同，进行分子相减，注意分子相减时第二个分式的分子要整体加上括号，即$2a - (a + 2)$，去括号后为$2a - a - 2 = a - 2$，所以分子为$a - 2$，分母为$(a + 2)(a - 2)$，约分后得到$\frac{1}{a + 2}$。
【答案】：$\frac{1}{a + 2}$

2. 计算: $ \frac{a^2 + 3}{a^2 - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + 1 $.

答案： 解：原式$=\frac{a^2 + 3-(a + 1)^2 + a^2 - 1}{a^2 - 1}$
$=\frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 1}$
$=\frac{(a - 1)^2}{(a + 1)(a - 1)}$
$=\frac{a - 1}{a + 1}$．

例 3 计算: $ \frac{x + 3}{x - 2} ÷ (x - 3) \cdot \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} $.

答案： 【错解】原式 $ = \frac{x + 3}{x - 2} ÷ (x - 3) \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 3)(x - 3)} $
$ = \frac{x + 3}{x - 2} ÷ 1 \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 3} $
$ = x + 2 $.
【错因分析】乘除混合运算, 应该从左到右依次运算. 该题错误地先把后面约分, 再计算, 运算顺序错误.
【正解】原式 $ = \frac{x + 3}{x - 2} \cdot \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 3)(x - 3)} $
$ = \frac{x + 2}{(x - 3)^2} $.

3. 计算:
(1) $ \frac{a^2 - 3a}{a^2 + a} ÷ \frac{a - 3}{a^2 - 1} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} $;
(2) $ \frac{x - 2}{1 + 2x + x^2} ÷ (x - \frac{3x}{1 + x}) $;
(3) $ \frac{4}{a + 3} - \frac{6}{a^2 - 9} ÷ \frac{3}{a - 3} $.

答案： 解：
(1)原式$=\frac{a(a - 3)}{a(a + 1)}\cdot\frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 3}\cdot\frac{a + 1}{a - 1}$
$=(a - 1)\cdot\frac{a + 1}{a - 1}$
$=a + 1$；
(2)原式$=\frac{x - 2}{(x + 1)^2}÷(\frac{x^2 + x}{x + 1}-\frac{3x}{x + 1})$
$=\frac{x - 2}{(x + 1)^2}\cdot\frac{x + 1}{x(x - 2)}$
$=\frac{1}{x(x + 1)}=\frac{1}{x^2 + x}$；
(3)原式$=\frac{4}{a + 3}-\frac{6}{(a + 3)(a - 3)}\cdot\frac{a - 3}{3}$
$=\frac{4}{a + 3}-\frac{2}{a + 3}=\frac{2}{a + 3}$．

例 4 解方程: $ \frac{2x + 9}{3x - 9} = \frac{4x - 7}{x - 3} + 2 $.

答案： 【错解】去分母得:
$ 2x + 9 = 3(4x - 7) + 6(x - 3) $,
整理得 $ -16x = -48 $,
解得 $ x = 3 $.
【错因分析】解分式方程必须检验, 判断得到的解是否为增根, 这里忽略检验而出错.
【正解】去分母得:
$ 2x + 9 = 3(4x - 7) + 6(x - 3) $,
整理得 $ -16x = -48 $,
解得 $ x = 3 $,
检验: 当 $ x = 3 $ 时, $ 3(x - 3) = 0 $,
则 $ x = 3 $ 是原方程的增根,
$ \therefore $ 原方程无解.