《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

2.如图,在四边形ABCD中,AB//DC,对角线AC,BD交于点O,AC= 2AO,且AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AB= $\sqrt{5}$,BD= 2,求△ACE的面积.$\frac{16}{5}$

答案：
(1)证明：
∵AB//DC，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC=2AO，
∴AO=CO，
∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴BO=DO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO=$\frac{1}{2}$BD=1，BC=AB=$\sqrt{5}$，
∴AO=$\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-1^{2}}=2$，
∴AC=2OA=4，
∵S_{菱形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC·BD=AB·CE，
即$\frac{1}{2}×4×2=\sqrt{5}\cdot CE$，解得CE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{BC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-(\frac{4\sqrt{5}}{5})^{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴AE=AB+BE=$\sqrt{5}+\frac{3\sqrt{5}}{5}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴S_{△ACE}=$\frac{1}{2}$AE·CE=$\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{5}}{5}×\frac{4\sqrt{5}}{5}=\frac{16}{5}$。

例2 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠ABC= ∠ADC= 90°,对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AB= 2,求△OEC的面积.

(1)证明：因为AD//BC，所以∠BAD+∠ABC=180°，又因为∠ABC=90°，所以∠BAD=90°。已知∠ABC=∠ADC=90°，所以四边形ABCD有三个角是直角，根据矩形的判定定理，四边形ABCD是矩形。
(2)1

答案： 【解析】：
(1)因为AD//BC，所以∠BAD+∠ABC=180°，又因为∠ABC=90°，所以∠BAD=90°。已知∠ABC=∠ADC=90°，所以四边形ABCD有三个角是直角，根据矩形的判定定理，四边形ABCD是矩形。
(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD=2，AD=BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD互相平分且相等，所以O是AC中点。DE平分∠ADC，∠ADC=90°，所以∠CDE=45°，在Rt△CDE中，∠CDE=45°，所以EC=CD=2。过O作OF⊥BC于F，因为O是AC中点，OF//AB，所以OF是△ABC的中位线，OF=AB/2=1。所以△OEC的面积=EC×OF÷2=2×1÷2=1。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)1

3.直角三角形两条直角边的长分别是5和12,则斜边上的中线的长是 (A)
A.$\frac{13}{2}$
B.13
C.6
D.$\frac{5}{2}$

答案： A

4.一个矩形的一条对角线长为8,两条对角线的一个夹角为120°,则这个矩形较长的一边长为$4\sqrt{3}$.

答案： $4\sqrt{3}$

5.如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C、D作CE//BD,DE//AC,CE和DE交于点E.
(1)求证:四边形ODEC是矩形;
(2)连接AE,交CD于点F,当∠ADB=60°,AD= 2$\sqrt{3}$时,直接写出AE的长为√39.

答案：
(1)证明：
∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形ODEC是矩形；
(2)解：在Rt△ADO中，∠ADB=60°，AD=2√3，
∴∠OAD=30°，
∴OD=1/2AD=√3，
∴AO=√(AD²-OD²)=√[(2√3)²-(√3)²]=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2AO=6，
∵四边形ODEC是矩形，
∴EC=OD=√3，∠ACE=90°，
在Rt△ACE中，AE=√(AC²+EC²)=√(6²+(√3)²)=√39。

例3 如图,在矩形ABCD中,E是BC边上一点,DE平分∠ADC,EF//DC交AD边于点F,连接BD.
(1)求证:四边形FECD是正方形;
(2)若BE= 1,ED= 2√2,求BD的长.

(1)证明见解析；(2)√13

答案： 【解析】：
(1)证明：因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC，∠ADC=∠C=90°。
由于EF//DC，且AD//BC，所以四边形FECD是平行四边形。
因为DE平分∠ADC，所以∠ADE=∠CDE。
又因为AD//BC，所以∠ADE=∠DEC，因此∠CDE=∠DEC，故CD=CE。
所以平行四边形FECD是菱形，又因为∠C=90°，所以四边形FECD是正方形。
(2)解：由
(1)知四边形FECD是正方形，设CD=CE=x。
在Rt△CDE中，根据勾股定理得：CD² + CE² = ED²，即x² + x² = (2√2)²，
解得x²=4，x=2（x=-2舍去），所以CD=CE=2。
因为BE=1，所以BC=BE + EC=1 + 2=3。
在矩形ABCD中，CD=AB=2，BC=AD=3，
在Rt△BCD中，BD=√(BC² + CD²)=√(3² + 2²)=√13。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)√13

6.如图,正方形ABCD中,∠DAF= 25°,AF交对角线BD于点E,连接CE,则∠BEC= (C)
A.45°
B.60°
C.70°
D.75°

答案： C