《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的中线,$E是AD$的中点,过点$A作AF// BC交BE的延长线于点F$,连接$CF$。试说明：四边形$ADCF$是平行四边形。
解：$\because AF // BC, \therefore \angle AFE = \angle DBE$，
$\because E$是$AD$的中点，$\therefore AE = DE$，
在$\triangle AFE$和$\triangle DEB$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle AFE = \angle DBE \\ \angle AEF = \angle DEB \\ AE = DE \end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AEF \cong \triangle DEB$(AAS), $\therefore AF = BD$，
$\because AD$是$BC$边上的中线，$\therefore BD = CD, \therefore AF = DC$，
又$\because AF // BC, \therefore$ 四边形$ADCF$是平行四边形。

答案： 11. 解：$\because AF // BC, \therefore \angle AFE = \angle DBE$，
$\because E$是$AD$的中点，$\therefore AE = DE$，
在$\triangle AFE$和$\triangle DEB$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle AFE = \angle DBE \\ \angle AEF = \angle DEB \\ AE = DE \end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AEF \cong \triangle DEB(AAS), \therefore AF = BD$，
$\because AD$是$BC$边上的中线，$\therefore BD = CD, \therefore AF = DC$，
又$\because AF // BC, \therefore$ 四边形$ADCF$是平行四边形。

12. 如图,在$□ ABCD$中,$E$,$F分别是AB$,$CD$的中点,连接$DE$,$AF$,$CE$,$BF$,分别相交于点$G$,$H$。证明：四边形$EHFG$是平行四边形。
证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore DC // AB, DC = AB$，$\because E, F$分别是$AB, CD$的中点，$\therefore DF = CF, AE = BE, \therefore DF = CF = AE = BE$，$\therefore$ 四边形$AECF$、四边形$BEDF$都是平行四边形，$\therefore AF // CE, DE // BF$，即$GF // EH, FH // GE$，$\therefore$ 四边形$EHFG$是平行四边形。

答案： 12. 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DC // AB, DC = AB$，
$\because E, F$分别是$AB, CD$的中点，
$\therefore DF = CF, AE = BE, \therefore DF = CF = AE = BE$，
$\therefore$ 四边形$AECF$、四边形$BEDF$都是平行四边形，
$\therefore AF // CE, DE // BF$，即$GF // EH, FH // GE$，
$\therefore$ 四边形$EHFG$是平行四边形。

13. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别是AC$,$AB$的中点,点$F是CB$延长线上的一点,且$CF = 3BF$,连接$DE$,$DB$,$EF$。
(1) 求证：四边形$DEFB$是平行四边形；
(2) 若$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 6cm$,$DE = 2cm$,求四边形$DEFB$的面积。

(1) 证明：$\because$ 点$D, E$分别是$AC, AB$的中点，
$\therefore DE$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore DE // BC, BC = 2DE$，
$\because CF = 3BF, \therefore BC = 2BF, \therefore DE = BF$，
$\therefore$ 四边形$DEFB$是平行四边形；
(2) 解：由(1)得$BF = DE = 2cm$，
$\because D$是$AC$的中点，$AC = 6cm$，
$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = 3cm$，
$\because \angle ACB = 90^{\circ}, \therefore S_{四边形DEFB} = BF \cdot CD = 6cm^{2}$

答案： 13.
(1) 证明：$\because$ 点$D, E$分别是$AC, AB$的中点，
$\therefore DE$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore DE // BC, BC = 2DE$，
$\because CF = 3BF, \therefore BC = 2BF, \therefore DE = BF$，
$\therefore$ 四边形$DEFB$是平行四边形；
(2) 解：由
(1)得$BF = DE = 2cm$，
$\because D$是$AC$的中点，$AC = 6cm$，
$\therefore CD = \frac{1}{2}AC = 3cm$，
$\because \angle ACB = 90^{\circ}, \therefore S_{四边形DEFB} = BF \cdot CD = 6cm^{2}$

14. 如图,$\triangle ABC的中线BD$、$CE交于点O$,$F$、$G分别是OB$、$OC$的中点,连接$DE$,$EF$,$FG$,$GD$。求证：$EF = DG且EF// DG$。
证明：$\because BD, CE$是$\triangle ABC$的中线，$\therefore DE // BC, DE = \frac{1}{2}BC$，$\because F, G$分别是$OB, OC$的中点，$\therefore GF // BC, GF = \frac{1}{2}BC$，$\therefore GF = DE, GF // DE$，$\therefore$ 四边形$DEFG$是平行四边形，$\therefore EF = DG$且$EF // DG$。

答案： 14. 证明：$\because BD, CE$是$\triangle ABC$的中线，
$\therefore DE // BC, DE = \frac{1}{2}BC$，
$\because F, G$分别是$OB, OC$的中点，
$\therefore GF // BC, GF = \frac{1}{2}BC$，
$\therefore GF = DE, GF // DE$，
$\therefore$ 四边形$DEFG$是平行四边形，
$\therefore EF = DG$且$EF // DG$。

15. 如图,在等腰梯形$ABCD$中,对角线$AC与BD交于点O$,$AD = 2$,$M$、$N分别是OB$、$OC$的中点,连接$MN$,$AN与DM$互相平分,求$BC$的长。

答案：
15. 解：如图，连接$AM, DN$，

$\because AN$与$DM$互相平分，
$\therefore$ 四边形$AMND$是平行四边形，
$\therefore MN = AD = 2$，
$\because M, N$分别是$OB, OC$的中点，
$\therefore MN$是$\triangle OBC$的中位线，
$\therefore BC = 2MN = 4$。

1. 一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少$180^{\circ}$,则这个多边形的边数是7。

答案： 1. 7

2. 如图,$\triangle ABC$中,$AD$是中线,$AE$是角平分线,$CF\perp AE于F$,连接$DF$,若$AB = 5$,$AC = 2$,则$DF$的长为______1.5。

答案： 2. 1.5