《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

1.菱形的性质与判定:
(1)菱形的概念:一组邻边相等的平行四边形;
(2)菱形的性质:
①菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质;
②菱形的四条边相等;
③菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
(3)菱形的判定:
①一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形;
③四条边都相等的四边形是菱形.

答案：
(1)相等；
(2)②相等；③互相垂直；
(3)①相等；②互相垂直平分

2.矩形的性质与判定:
(1)矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;
(2)矩形的性质:
①矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质;
②矩形的四个内角都是直角;
③矩形的对角线相等;
④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(3)矩形的判定:
①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;
②对角线相等的平行四边形是矩形;
③有三个角是直角的四边形是矩形.

答案：
(1)直角；
(2)②直角；③相等；④斜边的一半；
(3)②相等；③直角

例1 如图,在四边形ABCD中,AB= AD,BD平分∠ABC,AC⊥BD,垂足为点O.(1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若CD= 3,BD= 2$\sqrt{5}$,求菱形ABCD的面积.
(1)证明见解析；(2)4√5

答案： 【解析】：
(1)证明：因为AB=AD，AC⊥BD，所以△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OB=OD，∠ABD=∠ADB。
又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD，从而∠ADB=∠CBD。
在△AOD和△COB中，∠ADB=∠CBD，OD=OB，∠AOD=∠COB（对顶角相等），所以△AOD≌△COB（ASA），则AO=OC。
因为AC⊥BD，且OB=OD，AO=OC，所以BD垂直平分AC，AC垂直平分BD，故四边形ABCD的对角线互相垂直平分，因此四边形ABCD是菱形。
(2)解：因为四边形ABCD是菱形，所以CD=BC=AD=AB=3，且BD=2√5，所以OD=BD/2=√5。
在Rt△COD中，由勾股定理得OC=√(CD²-OD²)=√(3²-(√5)²)=√(9-5)=√4=2。
因为AC=2OC=4，所以菱形ABCD的面积=AC×BD/2=4×2√5/2=4√5。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)4√5

1.如图,已知菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE//DC,交BC于点E,AD= 6cm,则OE的长为 (C)
A.6cm
B.4cm
C.3cm
D.2cm

答案： C