《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

13. 如图,已知：∠AOB,点M、N.
求作：点P,使得它到∠AOB两边的距离相等,且到M、N两点的距离也相等。
(要求：用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

答案：
解: 如图, 点 $P$ 即为所作.
　　　　　　　

14. 如图,在△ABC中,AC ⊥ BC,AD平分∠BAC,DE ⊥ AB于点E,求证：直线AD是CE的垂直平分线。
证明: ∵ DE ⊥ AB，AC ⊥ BC，∴ ∠AED = ∠ACB = 90°，又 ∵ AD 平分 ∠BAC，∴ ∠DAE = ∠DAC，DE = DC，在 △AED 和 △ACD 中，{∠AED = ∠ACD，∠DAE = ∠DAC，AD = AD} ∴ △AED ≌ △ACD(AAS)，∴ AE = AC，∴ AD 垂直平分线段 CE，即直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线。

答案： 证明: $\because DE \perp AB$, $AC \perp BC$,
$\therefore \angle AED = \angle ACB = 90^{\circ}$,
又 $\because AD$ 平分 $\angle BAC$,
$\therefore \angle DAE = \angle DAC$, $DE = DC$,
在 $\triangle AED$ 和 $\triangle ACD$ 中, $\left\{\begin{array}{l} \angle AED = \angle ACD \\ \angle DAE = \angle DAC \\ AD = AD \end{array}\right.$
$\therefore \triangle AED \cong \triangle ACD(AAS)$, $\therefore AE = AC$,
$\therefore AD$ 垂直平分线段 $CE$,
即直线 $AD$ 是线段 $CE$ 的垂直平分线.

15. 如图,在△ABC中,AB = AC,点E在CA的延长线上,EP ⊥ BC,垂足为点P,EP交AB于点F,FD // AC交BC于点D. 求证：△AEF是等腰三角形。
证明: ∵ FD // AC，∴ ∠PFD = ∠E，∠FDB = ∠C，∵ AB = AC，∴ ∠B = ∠C，∴ ∠B = ∠FDB，∴ FB = FD，又 ∵ EP ⊥ BC，∴ ∠PFB = ∠PFD，∵ ∠PFB = ∠AFE，∴ ∠AFE = ∠PFD = ∠E，∴ AE = AF，即 △AEF 是等腰三角形。

答案： 证明: $\because FD // AC$, $\therefore \angle PFD = \angle E$, $\angle FDB = \angle C$,
$\because AB = AC$, $\therefore \angle B = \angle C$,
$\therefore \angle B = \angle FDB$, $\therefore FB = FD$,
又 $\because EP \perp BC$, $\therefore \angle PFB = \angle PFD$,
$\because \angle PFB = \angle AFE$, $\therefore \angle AFE = \angle PFD = \angle E$,
$\therefore AE = AF$, 即 $\triangle AEF$ 是等腰三角形.

16. 如图,在△ABC中,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E.
(1) 若BC = 5,求△ADE的周长；5
(2) 若∠BAC = 120°,求∠DAE的度数。60°

答案： 解:
(1) $\because$ 边 $AB$、$AC$ 的垂直平分线分别交 $BC$ 于 $D$、$E$,
$\therefore DA = DB$, $EA = EC$,
$\therefore \triangle ADE$ 的周长为 $AD + DE + AE = DB + DE + EC = BC = 5$;
(2) $\because \angle BAC = 120^{\circ}$, $\therefore \angle B + \angle C = 60^{\circ}$,
$\because DA = DB$, $EA = EC$, $\therefore \angle DAB = \angle B$, $\angle EAC = \angle C$,
$\therefore \angle DAE = \angle BAC - (\angle DAB + \angle EAC) = \angle BAC - (\angle B + \angle C) = 60^{\circ}$.