《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

19. 已知不等式 $ 2x - a ＜ 0 $ 的正整数解有且只有 2 个,则 $ a $ 的取值范围为$4 ＜ a \leq 6$.

答案： $4 ＜ a \leq 6$

20. 若 $ a ^ { 2 } - 3 a + 1 = 0 $,则 $ 2 a ^ { 2 } - 3 a + \frac { 1 } { a ^ { 2 } } $ 的值为______6.

答案： 6

21. 代数式 $ \sqrt { x ^ { 2 } + 4 } + \sqrt { ( 4 - x ) ^ { 2 } + 1 } $ 的最小值是______5.

答案： 5

22. 如图,矩形 $ O A B C $ 在平面直角坐标系中,$ A ( 0, 3 ) $,$ C ( 4, 0 ) $,点 $ P $ 为直线 $ A B $ 上一动点,将直线 $ O P $ 绕点 $ P $ 逆时针方向旋转 $ 90 ^ { \circ } $ 交直线 $ B C $ 于点 $ Q $,当 $ \triangle P O Q $ 为等腰三角形时,点 $ P $ 的坐标为______$(1,3)$或$(7,3)$.

答案： $(1,3)$或$(7,3)$

23. 如图,在边长为 2 的正方形 $ A B C D $ 中,点 $ E $,$ F $ 分别是边 $ B C $,$ A D $ 上的点,连接 $ E F $,将四边形 $ A B E F $ 沿 $ E F $ 折叠,点 $ B $ 的对应点 $ G $ 恰好落在 $ C D $ 边上,点 $ A $ 的对应点为 $ H $,连接 $ B H $,则 $ B H + E F $ 的最小值是$2\sqrt{5}$.

答案： $2\sqrt{5}$

24. 阅读材料：若 $ m ^ { 2 } - 2 m n + 2 n ^ { 2 } + 6 n + 9 = 0 $,求 $ m $,$ n $ 的值.
解：$ \because m ^ { 2 } - 2 m n + 2 n ^ { 2 } + 6 n + 9 = 0 $,
$ \therefore ( m ^ { 2 } - 2 m n + n ^ { 2 } ) + ( n ^ { 2 } + 6 n + 9 ) = 0 $,
$ \therefore ( m - n ) ^ { 2 } + ( n + 3 ) ^ { 2 } = 0 $,
$ \therefore ( m - n ) ^ { 2 } = 0 $,$ ( n + 3 ) ^ { 2 } = 0 $,
$ \therefore m = - 3 $,$ n = - 3 $.
根据你的观察,探究下列问题：
(1) 如图,在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中,$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $,$ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle A C B $ 所对的边分别为 $ a $,$ b $,$ c $,且满足 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 10 a - 24 b + 169 = 0 $,求 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 的斜边上的高 $ h $ 的值为$\frac{60}{13}$；
(2) 已知 $ x - y = 6 $,$ z ^ { 2 } - 4 z + x y ( x y - 14 ) + 53 = 0 $,求 $ x + y + z $ 的值为$-6$或$10$.

答案： 解：
(1) $\because a^{2}+b^{2}-10a - 24b + 169 = 0$，
$\therefore a^{2}-10a + 25 + b^{2}-24b + 144 = 0$，
$\therefore (a - 5)^{2}+(b - 12)^{2}=0$，
$\therefore a - 5 = 0$，$b - 12 = 0$，
解得 $a = 5$，$b = 12$，
在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle ACB$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，
$\therefore c = \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{25 + 144}=13$，
$\because \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$，$\therefore h = \frac{ab}{c}=\frac{60}{13}$，
故 $Rt\triangle ABC$ 的斜边上的高 $h$ 的值为 $\frac{60}{13}$；
(2) $\because z^{2}-4z + xy(xy - 14)+53 = 0$，
$\therefore z^{2}-4z + 4+(xy)^{2}-14xy + 49 = 0$，
$\therefore (z - 2)^{2}+(xy - 7)^{2}=0$，
$\therefore z - 2 = 0$，$xy - 7 = 0$，
解得 $z = 2$，$xy = 7$，
$\because x - y = 6$，
$\therefore (x + y)^{2}=(x - y)^{2}+4xy = 36 + 28 = 64$，
$\therefore x + y = \pm 8$，
当 $x + y = - 8$ 时，$x + y + z = - 8 + 2 = - 6$；
当 $x + y = 8$ 时，$x + y + z = 8 + 2 = 10$，
故 $x + y + z$ 的值是 $- 6$ 或 $10$。

25. 已知一次函数 $ y _ { 1 } = a x + b $ 的图象分别交 $ x $ 轴、$ y $ 轴于 $ B $、$ D $ 两点,另一个一次函数 $ y _ { 2 } = b x + a $ 的图象分别交 $ x $ 轴、$ y $ 轴于 $ C $、$ E $ 两点,且两个函数的图象交于点 $ A ( 1, 4 ) $.
(1) 当 $ a $,$ b $ 为何值时,$ y _ { 1 } $ 与 $ y _ { 2 } $ 的图象重合；
解：当 $a = b =$2时，$y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的图象重合；
(2) 当 $ D E = 2 $ 时,求 $ \triangle A B C $ 的面积；
解：$\triangle ABC$ 的面积为$\frac{16}{3}$；
(3) 若 $ 0 ＜ a ＜ 4 $,当 $ x ＜ 1 $ 时,始终有 $ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } $,求 $ b $ 的取值范围.
解：$b$ 的取值范围是$2＜b＜4$.

答案： 解：
(1) 根据题意，当 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的图象重合时，有 $a = b$，
将 $A(1,4)$ 代入 $y_{1}=ax + b$，
得 $a + a = 4$，解得 $a = 2$，
$\therefore$ 当 $a = b = 2$ 时，$y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的图象重合；
(2) 根据题意，得 $D(0,b)$，$E(0,a)$，$\therefore DE = |b - a|$，
将 $A(1,4)$ 代入 $y_{1}=ax + b$，得 $a + b = 4$，
$\therefore b = 4 - a$，$\therefore DE = |4 - 2a|$，
$\because DE = 2$，$\therefore |4 - 2a| = 2$，解得 $a = 1$ 或 $3$，
$\therefore b = 3$ 或 $1$，
$\therefore$ 两直线的解析式分别为 $y = x + 3$，$y = 3x + 1$，
$\therefore B(-3,0)$，$C(-\frac{1}{3},0)$ 或 $B(-\frac{1}{3},0)$，$C(-3,0)$，
$\therefore BC = \frac{8}{3}$，
$\therefore \triangle ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×4=\frac{16}{3}$；
(3) $\because$ 当 $x ＜ 1$ 时，始终有 $y_{1}＞y_{2}$，
$\therefore ax + b ＞ bx + a$，$\therefore (a - b)x ＞ a - b$，
$\because x ＜ 1$，$\therefore a - b ＜ 0$，
$\because a + b = 4$，$\therefore a = 4 - b$，$\therefore 4 - 2b ＜ 0$，解得 $b ＞ 2$，
$\because 0 ＜ a ＜ 4$，$\therefore 0 ＜ 4 - b ＜ 4$，解得 $0 ＜ b ＜ 4$，
$\therefore b$ 的取值范围是 $2 ＜ b ＜ 4$。