《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

1. 因式分解的概念: 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式, 这种变形叫做把这个多项式因式分解.

答案： 整式

2. 提公因式法:
(1) 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式, 公因式可以是单项式, 也可以是多项式;
(2) 如果一个多项式的各项有公因式, 那么就可以把这个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式乘积的形式, 这种因式分解的方法叫做提公因式法.

答案：
(1)公因式

3. 运用公式法: 如果把乘法公式反过来, 就可以把某些多项式分解因式, 这种方法叫运用公式法.
平方差公式: $ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = $$(a + b)(a - b)$;
完全平方公式: $ a ^ { 2 } \pm 2 a b + b ^ { 2 } = $$(a \pm b)^2$.

答案： $(a + b)(a - b)$ $(a \pm b)^2$

4. 十字相乘法:
(1) 二次项系数为 1 的十字相乘法: $ x ^ { 2 } + ( p + q ) x + p q = $$(x + p)(x + q)$;
(2) 二次项系数不为 1 的十字相乘法: $ a _ { 1 } a _ { 2 } x ^ { 2 } + ( a _ { 1 } c _ { 2 } + a _ { 2 } c _ { 1 } ) x + c _ { 1 } c _ { 2 } = $$(a_1x + c_1)(a_2x + c_2)$.

答案：
(1)$(x + p)(x + q)$；
(2)$(a_1x + c_1)(a_2x + c_2)$

5. 分组分解法: 把多项式各项适当分组, 先使分组能进行因式分解, 再使各组之间能进行因式分解. 其中一种是分组以后能够提取公因式, 另外一种是分组后能够用公式.

答案： 进行因式分解

例 1 下列等式从左到右的变形是因式分解的是 (C)
A.$ ( x + 2 ) ( x - 2 ) = x ^ { 2 } - 4 $
B.$ x ^ { 2 } - 4 + 3 x = ( x + 2 ) ( x - 2 ) + 3 x $
C.$ x ^ { 2 } - 3 x - 4 = ( x - 4 ) ( x + 1 ) $
D.$ x ^ { 2 } + 2 x - 3 = ( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 $

答案： C

1. 下列变形是因式分解的是 (C)
A.$ x ( x - 1 ) = x ^ { 2 } - x $
B.$ x ^ { 2 } - x + 1 = x ( x - 1 ) + 1 $
C.$ x ^ { 2 } - x = x ( x - 1 ) $
D.$ 2 a ( b + c ) = 2 a b + 2 a c $

答案： C

2. 若多项式 $ x ^ { 2 } + a x + b $ 分解因式的结果为 $ ( x + 1 ) ( x - 2 ) $, 则 $ a + b $ 的值为-3.

答案： -3

例 2 下列提公因式正确的是 (B)
A.$ 12 x y ^ { 2 } - 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } = 3 x y ^ { 2 } ( 4 - 3 x y ) $
B.$ 3 a ^ { 2 } y + 6 a y + 6 y = 3 y ( a ^ { 2 } + 2 a + 2 ) $
C.$ - x ^ { 2 } + x y - x z = - x ( x + y - z ) $
D.$ a ^ { 2 } b + 5 a b - b = b ( a ^ { 2 } + 5 a ) $

答案： B