《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

(2) 计算：$\sqrt[3]{8} - (\pi - 3)^{0} + (\frac{1}{2})^{-1} + |\sqrt{2} - 1|$；

答案： 解：原式$=2 - 1 + 2 + (\sqrt{2} - 1)$
$=2 - 1 + 2 + \sqrt{2} - 1$
$=2 + \sqrt{2}$

(3) 已知$x = 1 - \sqrt{2}$,$y = 1 + \sqrt{2}$,求$x^{2} + y^{2} - xy - 2x + 2y$的值.
$\because x=1-\sqrt{2},y=1+\sqrt{2}$，$\therefore x - y=(1-\sqrt{2})-(1+\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$，$xy=(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1$，$\therefore x^{2}+y^{2}-xy - 2x+2y=(x - y)^{2}-2(x - y)+xy=(-2\sqrt{2})^{2}-2×(-2\sqrt{2})+(-1)=7 + 4\sqrt{2}$。

答案： $\because x=1-\sqrt{2},y=1+\sqrt{2}$，
$\therefore x - y=(1-\sqrt{2})-(1+\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$，
$xy=(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1$，
$\therefore x^{2}+y^{2}-xy - 2x+2y=(x - y)^{2}-2(x - y)+xy$
$=(-2\sqrt{2})^{2}-2×(-2\sqrt{2})+(-1)=7 + 4\sqrt{2}$。

1. 已知$a$、$b$均为正数,且$a + b = 2$,则$\sqrt{a^{2} + 4} + \sqrt{b^{2} + 1}$的最小值为$\sqrt{13}$.

答案： $\sqrt{13}$

2. 已知数$\sqrt{14}的小数部分是b$,求$b^{4} + 12b^{3} + 37b^{2} + 6b - 20$的值.

答案： 解：$\because 9＜14＜16$，即$3＜\sqrt{14}＜4$，
$\therefore \sqrt{14}$的整数部分为3，即$\sqrt{14}=3+b$，
两边平方，得$14=9+6b+b^{2}$，$\therefore b^{2}+6b=5$，
$b^{4}+12b^{3}+37b^{2}+6b - 20$
$=(b^{4}+2\cdot6b^{3}+36b^{2})+(b^{2}+6b)-20$
$=(b^{2}+6b)^{2}+(b^{2}+6b)-20$
$=5^{2}+5 - 20=10$。

3. 定义：如果一个数的平方等于$-1$,记为$i^{2} = -1$,这个数$i$叫做虚数单位,那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,表示为$a + bi(a,b$为实数),$a$叫做这个复数的实部,$b$叫做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.
例如：$(5 + i)×(3 - 4i) = 19 - 17i$.
(1) 填空：$i^{3} = $$-i$,$i^{4} = $1；
(2) 计算：$(3 + i)^{2}$；
解：$(3+i)^{2}=9+6i+i^{2}=8+6i$
(3) 试一试：请利用以前学习的有关知识将$\frac{2 + i}{2 - i}化简成a + bi$的形式.
解：$\frac{2+i}{2 - i}=\frac{(2 + i)^{2}}{(2 - i)(2 + i)}=\frac{4 + 4i + i^{2}}{4 - i^{2}}=\frac{3 + 4i}{5}=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$

答案： 解：
(1)$-i$，1；
(2)$(3+i)^{2}=9+6i+i^{2}=8+6i$；
(3)$\frac{2+i}{2 - i}=\frac{(2 + i)^{2}}{(2 - i)(2 + i)}=\frac{4 + 4i + i^{2}}{4 - i^{2}}=\frac{3 + 4i}{5}=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$