《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

3. 分解因式:
(1) $ 12 a b c ^ { 2 } - 3 a b = $$3ab(2c + 1)(2c - 1)$;
(2) $ - 5 a ^ { 3 } + 10 a ^ { 2 } = $$-5a^2(a - 2)$;
(3) $ 2 a ^ { 2 } ( a - b ) - 8 ( b - a ) = $$2(a - b)(a^2 + 4)$.

答案：
(1)$3ab(2c + 1)(2c - 1)$；
(2)$-5a^2(a - 2)$；
(3)$2(a - b)(a^2 + 4)$

4. 已知 $ x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } = 48, x y = 6 $, 则 $ x + y $ 的值为8.

答案： 8

例 3 分解因式:
(1) $ x ^ { 3 } - x $; (2) $ a ^ { 3 } - 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } $.
【思路导引】① 运用公式时, 首先要观察式子的特点, 是否符合公式, 符合哪个公式, 然后套用公式分解因式; ② 分解因式时, 首先提取公因式, 然后考虑用公式; ③ 分解因式必须分解到每个因式不能再分解为止.
【答案】(1) $ x ( x - 1 ) ( x + 1 ) $; (2) $ a ( a - b ) ^ { 2 } $.

答案： 【解析】：
(1) 对于 $x^3 - x$，首先提取公因式 $x$，得到 $x(x^2 - 1)$。观察 $x^2 - 1$，它符合平方差公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，其中 $a = x$，$b = 1$，所以进一步分解为 $x(x - 1)(x + 1)$。
(2) 对于 $a^3 - 2a^2b + ab^2$，先提取公因式 $a$，得到 $a(a^2 - 2ab + b^2)$。而 $a^2 - 2ab + b^2$ 是完全平方公式 $(a - b)^2$ 的形式，因此最终分解为 $a(a - b)^2$。
【答案】：
(1) $x(x - 1)(x + 1)$;
(2) $a(a - b)^2$

5. 下列因式分解正确的是 (D)
A.$ x ^ { 2 } - 4 = ( x + 4 ) ( x - 4 ) $
B.$ x ^ { 2 } + x + 1 = ( x + 1 ) ^ { 2 } $
C.$ x ^ { 2 } - 2 x - 3 = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4 $
D.$ 2 x + 4 = 2 ( x + 2 ) $

答案： D

6. (1) 若 $ x - y - 7 = 0 $, 则代数式 $ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - 14 y $ 的值为49;
(2) 若 $ a + b = 3, a b = - 1 $, 则代数式 $ a ^ { 3 } b + 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + a b ^ { 3 } $ 的值为-9.

答案：
(1)49；
(2)-9

7. 分解因式: $ a ^ { 2 } ( b - a ) + 4 ( a - b ) = $$(b - a)(a + 2)(a - 2)$.

答案： $(b - a)(a + 2)(a - 2)$

8. 分解因式:
(1) $ - 2 m ^ { 2 } + 8 m n - 8 n ^ { 2 } $;
(2) $ a ^ { 2 } ( x - 1 ) + b ^ { 2 } ( 1 - x ) $.

答案：
(1)解：原式$=-2(m^2 - 4mn + 4n^2) = -2(m - 2n)^2$；
(2)解：原式$=a^2(x - 1) - b^2(x - 1) = (x - 1)(a^2 - b^2) = (x - 1)(a - b)(a + b)$。

例 4 把下列各式分解因式:
(1) $ x ^ { 2 } - 2 x - 15 $;
(2) $ x ^ { 2 } + 3 x - 10 $;
(3) $ 2 x ^ { 2 } - 5 x - 3 $;
(4) $ 3 a ^ { 2 } - 8 a + 4 $.

答案： 【解析】：
(1)对于$x^2 - 2x - 15$，二次项系数为1，拆常数项$-15$，寻找两个数，它们的积为$-15$，和为$-2$，这两个数是$-5$和$3$，所以分解为$(x - 5)(x + 3)$。
(2)对于$x^2 + 3x - 10$，二次项系数为1，拆常数项$-10$，找到积为$-10$且和为$3$的两个数$5$和$-2$，分解为$(x + 5)(x - 2)$。
(3)对于$2x^2 - 5x - 3$，二次项系数不为1，拆两头：二次项系数$2$拆为$2$和$1$，常数项$-3$拆为$1$和$-3$，交叉相乘再相加：$2×(-3)+1×1=-6 + 1=-5$，凑得中间项$-5x$，所以分解为$(2x + 1)(x - 3)$。
(4)对于$3a^2 - 8a + 4$，二次项系数$3$拆为$3$和$1$，常数项$4$拆为$-2$和$-2$，交叉相乘相加：$3×(-2)+1×(-2)=-6 - 2=-8$，凑得中间项$-8a$，分解为$(3a - 2)(a - 2)$。
【答案】：
(1)$(x - 5)(x + 3)$；
(2)$(x + 5)(x - 2)$；
(3)$(2x + 1)(x - 3)$；
(4)$(3a - 2)(a - 2)$

9. 把下列各式分解因式:
(1) $ x ^ { 2 } - 5 x y + 6 y ^ { 2 } $;
(2) $ 6 y ^ { 2 } - 11 y - 10 $.

答案：
(1)解：原式$=(x - 2y)(x - 3y)$；
(2)解：原式$=(2y - 5)(3y + 2)$。

例 5 把下列各式分解因式:
(1) $ 3 a x + 5 a y - 6 b x - 10 b y $;
(2) $ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } - 2 y z $.

答案： 【解析】：
(1) 对于式子$3ax + 5ay - 6bx - 10by$，我们采用分组分解法，将前两项和后两项分别分组，得到$(3ax + 5ay) + (-6bx - 10by)$。对每组提取公因式，第一组提取$a$可得$a(3x + 5y)$，第二组提取$-2b$可得$-2b(3x + 5y)$。此时两组都含有公因式$(3x + 5y)$，再提取公因式可得$(a - 2b)(3x + 5y)$。
(2) 对于式子$x^2 - y^2 - z^2 - 2yz$，先对后三项进行变形，$-y^2 - z^2 - 2yz = -(y^2 + 2yz + z^2)$，而$y^2 + 2yz + z^2$是完全平方形式，即$(y + z)^2$。所以原式可化为$x^2 - (y + z)^2$，这符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a = x$，$b = y + z$，分解可得$(x + y + z)(x - y - z)$。
【答案】：
(1) $(a - 2b)(3x + 5y)$；
(2) $(x + y + z)(x - y - z)$