《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

7.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别在OA、OB上,且∠OCF= ∠OBE.求证:OE= OF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即∠COF=∠BOE=90°，OB=OC。在△OCF和△OBE中，$\begin{cases}∠OCF=∠OBE\\OC=OB\\∠COF=∠BOE\end{cases}$，∴△OCF≌△OBE(ASA)，∴OE=OF。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，即∠COF=∠BOE=90°，OB=OC。
在△OCF和△OBE中，
$\begin{cases}∠OCF=∠OBE\\OC=OB\\∠COF=∠BOE\end{cases}$，
∴△OCF≌△OBE(ASA)，
∴OE=OF。

例1 已知菱形的周长为4√5,两条对角线的和为6,则菱形的面积为 (C)
A.2
B.3
C.4
D.8

答案： C

1.一个菱形的两条对角线的长分别为5和8,那么这个菱形的面积是(C)
A.40
B.25
C.20
D.10

答案： C

2.如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,若AC= 12,AB= 7,则菱形ABCD的面积是(A)
A.12√13
B.36
C.24√13
D.60

答案： A

例2 下列说法不正确的是 (C)
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.有三个角是直角的四边形是矩形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

答案： C

3.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点0,要使它成为矩形,需再添加的条件是B
A.A0= 0C
B.AC= BD
C.AC⊥BD
D.BD平分∠ABC

答案： B

4.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,那么下列结论正确的是 (C)
A.当AB= BC时,四边形ABCD是矩形
B.当AC⊥BD时,四边形ABCD是矩形
C.当OA= OB时,四边形ABCD是矩形
D.当∠ABD= ∠CBD时,四边形ABCD是
矩形

答案： C

例3 如图,已知正方形ABCD的周长为
4a,四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H分别
在AB、BC、CD、DA上滑动,在滑动过程中,始
终有EH//BD//FG,且EH= FG,那么四边形
EFGH的周长是否可求？若能,请求出它的周
长;若不能,请说明理由.


能，它的周长为2√2a

答案： 【解析】：已知正方形ABCD的周长为4a，则其边长AD=AB=BC=CD=a。设AH=x，HD=y，可得x+y=a。因为EH//BD//FG且EH=FG，在正方形中BD为对角线，故∠ADB=∠ABD=45°。由于EH//BD，所以∠AEH=∠ABD=45°，∠AHE=∠ADB=45°，则△AEH为等腰直角三角形，从而AH=AE=x，同理可证CG=CF=x，HD=DG=BF=BE=y。根据等腰直角三角形的性质，EH=FG=√2x，HG=EF=√2y。因此四边形EFGH的周长为2EH+2HG=2√2x+2√2y=2√2(x+y)=2√2a。
【答案】：2√2a