《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

7. 如图1所示,在$A$,$B两地之间有汽车站C$站,客车由$A地驶往C$站,货车由$B地驶往A$地. 两车同时出发,匀速行驶. 图2是客车、货车离$C站的路程y_1$,$y_2$(千米)与行驶时间$x$(小时)之间的函数关系图象.
(1)$A$,$B$两地相距______420千米;
(2)求$2$小时后,货车离$C站的路程y_2与行驶时间x$之间的函数关系式;
(3)客、货两车何时相遇?

答案： 7. 解：
(1)420；
(2)由图可知货车的速度为60÷2 = 30千米/小时，
货车到达A地一共需要2 + 360÷30 = 14小时，
设2小时后，货车离C站的路程y₂与行驶时间x之间的函数关系式为y₂ = kx + b，
将(2,0)、(14,360)代入，
得$\begin{cases}2k + b = 0 \\ 14k + b = 360 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = 30 \\ b = -60 \end{cases}$，
∴2小时后，货车离C站的路程y₂与行驶时间x之间的函数关系式为y₂ = 30x − 60(2≤x≤14)；
(3)设客车离C站的路程y₁与行驶时间x之间的函数关系式为y₁ = mx + n，
将(6,0)、(0,360)代入，
得$\begin{cases}6m + n = 0 \\ n = 360 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = -60 \\ n = 360 \end{cases}$，
∴客车离C站的路程y₁与行驶时间x之间的函数关系式为y₁ = −60x + 360(0≤x≤6)，
由y₁ = y₂，得30x − 60 = −60x + 360，解得$x = \frac{14}{3}$，
答：客、货两车经过$\frac{14}{3}$小时相遇。

1. 已知一次函数$y = kx + b$,当$1 \leq x \leq 4$时,$3 \leq y \leq 6$,则$\frac{b}{k}$的值是2或−7.

答案： 1. 2或−7

2. 如图,点$A的坐标为(-4,0)$,直线$y = \sqrt{3}x + n与坐标轴交于点B$,$C$,连接$AC$,若$\angle ACD = 90^{\circ}$,则$n$的值为$-\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

答案： 2. $-\frac{4\sqrt{3}}{3}$

3. 某校运动会需购买$A$、$B$两种奖品. 若购买$A种奖品3件和B种奖品2$件,则共需$60$元;若购买$A种奖品5件和B种奖品3$件,则共需$95$元.
(1)求$A$、$B$两种奖品的单价各是多少元?
(2)学校计划购买$A$、$B两种奖品共100$件,购买费用不超过$1150$元,且$A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3$倍. 设购买$A种奖品m$件,购买费用为$W$元,写出$W$(元)与$m$(件)之间的函数关系式,求出自变量$m$的取值范围,并确定最少费用.

答案： 3. 解：
(1)设A、B两种奖品的单价分别为x元、y元，
由题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 60 \\ 5x + 3y = 95 \end{cases}$，解得：$\begin{cases} x = 10 \\ y = 15 \end{cases}$，
答：A、B两种奖品的单价分别为10元、15元；
(2)由题意，得W = 10m + 15(100 − m)= 1500 − 5m，
由$\begin{cases}1500 - 5m ≤ 1150 \\ m ≤ 3(100 - m) \end{cases}$，解得：70≤m≤75，
∵−5＜0，
∴W随m的增大而减小，
当m = 75时，W的值最小，为1500 − 5×75 = 1125，
∴70≤m≤75，最少费用为1125元。