《2025年点对点期末复习及智胜暑假八年级数学北师大版》

例 5 (1) 分式方程 $ \frac{2}{x + 1} + 1 = \frac{x}{x - 1} $ 的解为 (B)
A.$ x = 4 $
B.$ x = 3 $
C.$ x = 2 $
D.$ x = 1 $

答案： B

(2) 关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x + m}{x - 2} + \frac{2m}{2 - x} = 3 $ 的解为正实数, 则实数 $ m $ 的取值范围是 (D)
A.$ m ＜ -6 $
B.$ m ＞ 6 $
C.$ m ＜ 6 $ 且 $ m \neq -2 $
D.$ m ＜ 6 $ 且 $ m \neq 2 $

答案： D

10. (1) 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{2}{x - 3} = 1 - \frac{m}{x - 3} $ 无解, 则 $ m $ 的值为$-2$;
(2) 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{3x + a}{2 - x} = 1 $ 的解为正数, 则 $ a $ 的取值范围是$a\lt2$且$a\neq - 6$.

答案：
(1)$-2$；
(2)$a\lt2$且$a\neq - 6$

11. 解方程: $ \frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{8}{x^2 - 4} $.

答案： 解：$\frac{x}{x - 2}-1=\frac{8}{(x + 2)(x - 2)}$，
方程两边同时乘$(x + 2)(x - 2)$，
得$x(x + 2)-(x + 2)(x - 2)=8$，
整理，得$2x - 4 = 0$，
解得$x = 2$，
检验：当$x = 2$时，$(x + 2)(x - 2)=0$，
∴原分式方程无解．

例 6 一辆汽车计划从 $ A $ 地出发开往相距 $ 180 $ 千米的 $ B $ 地, 事发突然, 加速至原计划速度的 $ 1.5 $ 倍, 结果比计划提前 $ 40 $ 分钟到达 $ B $ 地, 求原计划平均每小时行驶多少千米?

答案： 【解析】：设原计划平均每小时行驶 $ x $ 千米，则加速后平均每小时行驶 $ 1.5x $ 千米。
原计划行驶时间为 $ \frac{180}{x} $ 小时，加速后行驶时间为 $ \frac{180}{1.5x} $ 小时。
已知结果比计划提前 40 分钟（即 $ \frac{40}{60} = \frac{2}{3} $ 小时）到达，根据时间关系可列方程：
$\frac{180}{x} - \frac{180}{1.5x} = \frac{2}{3}$
化简方程左边：
$\frac{180}{x} - \frac{120}{x} = \frac{60}{x}$
则有：
$\frac{60}{x} = \frac{2}{3}$
解得 $ x = 90 $。
经检验，$ x = 90 $ 是原方程的解，且符合题意。
【答案】：90

12. 某商店用 $ 640 $ 元钱购进水果销售, 过了一段时间, 又用 $ 1600 $ 元钱购进这种水果, 所购数量是第一次购进数量的 $ 2 $ 倍, 但每千克水果的价格比第一次购进的每千克水果的价格贵了 $ 2 $ 元.
(1) 该商店第一次购进水果多少千克?
(2) 假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售, 最后剩下的 $ 50 $ 千克水果按标价的六折优惠销售. 若两次购进水果全部售完, 利润不低于 $ 400 $ 元, 则每千克水果的标价至少是多少元?

答案： 解：
(1)设该商店第一次购进水果$x$千克，
根据题意得：$\frac{1600}{2x}-\frac{640}{x}=2$，解得：$x = 80$，
经检验，$x = 80$是原方程的解，且符合题意，
答：该商店第一次购进水果$80$千克；
(2)设每千克水果的标价是$y$元，
则$(80 + 160 - 50)y + 50×60\%y - 640 - 1600\geq400$，
解得：$y\geq12$，
答：每千克水果的标价至少是$12$元．

例 1 若分式 $ \frac{|x| - 2}{x^2 - 5x + 6} $ 的值为零, 则 $ x $ 的值是______-2.

答案： -2

1. 当 $ x = $______-1时, 分式 $ \frac{3x^2 - 3}{(x - 1)(x - 3)} $ 的值为 $ 0 $.

答案： $-1$