《2025年实验班提优训练七年级数学上册苏科版》

1. 数学李老师让同学们解方程$\frac{1}{3}(10 - 2x) = 6 - \frac{4}{3}(2x - 10)$。小亮认为“方程两边有分母,应该先去分母”,小颖认为“方程中有$10 - 2x及2x - 10$,且互为相反数,应该用整体思想求解”。请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程。

答案： 小亮:去分母,得10-2x=18-4(2x-10),去括号,得10-2x=18-8x+40,移项,得-2x+8x=18+40-10,合并同类项,得6x=48,系数化为1,得x=8.
小颖:原方程可化为$\frac{1}{3}(10-2x)+\frac{4}{3}(2x-10)=6$,$\therefore -\frac{1}{3}(2x-10)+\frac{4}{3}(2x-10)=6$,$\therefore 2x-10=6$,$\therefore 2x=16$,$\therefore x=8$.

2. 换元思想 用整体思想解方程：$(3y - 2) - \frac{(3y - 2) - 1}{2} = 2 - \frac{(3y - 2) + 2}{3}$。

答案： $(3y-2)-\frac{(3y-2)-1}{2}=2-\frac{(3y-2)+2}{3}$,设k=3y-2,则原方程可变形为$k-\frac{k-1}{2}=2-\frac{k+2}{3}$,去分母,得6k-3(k-1)=12-2(k+2),去括号,得6k-3k+3=12-2k-4,移项、合并同类项,得5k=5,解得k=1,$\therefore 3y-2=1$,解得y=1.

3. 阅读理解：在解形如$3|x - 2| = |x - 2| + 4$这类含有绝对值的方程时,
解法一：我们可以运用整体思想来解。移项,得$3|x - 2| - |x - 2| = 4$,$2|x - 2| = 4$,$|x - 2| = 2$,$x - 2 = \pm 2$,$x = 4或x = 0$。
解法二：运用分类讨论的思想,根据绝对值的意义分$x ＜ 2和x \geq 2$两种情况讨论：
①当$x ＜ 2$时,原方程可化为$-3(x - 2) = -(x - 2) + 4$,解得$x = 0$,符合$x ＜ 2$；
②当$x \geq 2$时,原方程可化为$3(x - 2) = (x - 2) + 4$,解得$x = 4$,符合$x \geq 2$。
∴原方程的解为$x = 0或x = 4$。
解题回顾：本解法中 2 为$x - 2$的零点,它把数轴上的点所对应的数分成了$x ＜ 2和x \geq 2$两部分,所以分$x ＜ 2和x \geq 2$两种情况讨论。
问题：结合上面阅读材料,解下列方程：
(1)解方程：$|x - 3| + 8 = 3|x - 3|$；
(2)解方程：$|2 - x| - 3|x + 1| = x - 9$。

答案：
(1)移项,得$|x-3|-3|x-3|=-8$,合并,得$-2|x-3|=-8$,两边同时除以-2,得$|x-3|=4$,所以x-3=±4,所以x=-1或x=7.
(2)当$x\leqslant -1$时,原方程可化为$2-x+3(x+1)=x-9$,解得x=-14,符合$x\leqslant -1$;当$-1＜x\leqslant 2$时,原方程可化为$2-x-3(x+1)=x-9$,解得$x=\frac{8}{5}$,符合$-1＜x\leqslant 2$;当$x＞2$时,原方程可化为$-2+x-3(x+1)=x-9$,解得$x=\frac{4}{3}$,不符合$x＞2$,舍去.所以原方程的解为x=-14或$x=\frac{8}{5}$.