《2025年实验班提优训练七年级数学上册苏科版》

【例】由1,2,3,4这四个数字组成四位数$\overline{abcd}$(数字可重复使用),要求满足$a + c = b + d$。这样的四位数共有(C)。
A.36个
B.40个
C.44个
D.48个
解析：由题知,$\overline{abcd}$中的数字可重复使用,故可进行分类讨论。
①当只选1个数字时,例如选取1,此时$a = b = c = d = 1$,必有$a + c = b + d$,此时这个四位数为1111；选取2或3或4同理,故有$4×1 = 4$(个)；
②当只选取2个数字时,例如选取1,2,此时可分$a = b$,$a = d$两种情况。
若$a = b = 1$,则$c = d = 2$,该四位数为1122；
若$a = b = 2$,则$c = d = 1$,该四位数为2211；
若$a = d = 1$,则$c = b = 2$,该四位数为1221；
若$a = d = 2$,则$c = b = 1$,该四位数为2112；
其他情况同理,故共有$4×6 = 24$(个)；
③当只选取3个数字时,其中必有1个数字重复使用,想要满足$a + c = b + d$,通过观察发现$2 + 2 = 1 + 3$,$3 + 3 = 2 + 4$,即可能选取1,2,3或2,3,4。
当选取1,2,3时,可分为$a = c和b = d$两种情况。
若$a = c = 2$,则$b = 1$,$d = 3或b = 3$,$d = 1$,该四位数为2123或2321；
若$b = d = 2$,则$a = 1$,$c = 3或a = 3$,$c = 1$,该四位数为1232或3212；共有4个。
选取2,3,4同理,故只选取3个数字有$4×2 = 8$(个)；
④当选取4个数字时,要满足$a + c = b + d$,只可能是1,4为一组数,2,3为一组数。
若$a = 1$,$c = 4$,则$b = 2$,$d = 3或b = 3$,$d = 2$,该四位数为1243或1342；
若$a = 4$,$c = 1$,则$b = 2$,$d = 3或b = 3$,$d = 2$,该四位数为4213或4312；
若$a,c$为2,3这组数时,同理,故有$4×2 = 8$(个)。
综上,共有$4 + 24 + 8 + 8 = 44$(个)。
答案：C

答案： C

1. (2024·大庆一模)斐波那契数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称“兔子数列”,其数值为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…。这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。若我们把斐波那契数列中第1项表示为$a_1$,第2项表示为$a_2$,第3项表示为$a_3$,以此类推,则$a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_4 + \dots + a_{2023}a_{2024} + a_{2024}a_{2025} = \underline{\quad\quad}$。(用含a的式子表示)
$a_{2025}^{2}-1$

答案： 1.$a_{2025}^{2}-1$ [解析]由题意可知,从第3项开始,每一项都等于前两项之和,即$a_{2}=a_{3}-a_{1},a_{4}=a_{5}-a_{3},\cdots,a_{2024}=a_{2025}-a_{2023}$,
∴原式$=a_{1}(a_{3}-a_{1})+(a_{3}-a_{1})a_{3}+a_{3}(a_{5}-a_{3})+\cdots +a_{2023}(a_{2025}-a_{2023})+(a_{2025}-a_{2023})a_{2025}$
$=a_{1}a_{3}-a_{1}^{2}+a_{3}^{2}-a_{1}a_{3}+a_{3}a_{5}-a_{3}^{2}+\cdots +a_{2023}a_{2025}-a_{2023}^{2}+a_{2025}^{2}-a_{2023}a_{2025}$
$=-a_{1}^{2}+a_{2025}^{2}$.
$\because a_{1}=1$,
∴原式$=a_{2025}^{2}-1$.

2. 方方与同学做游戏,他把一张纸剪成9块,再从所得的纸片中任取一块再剪成9块；然后再从所得的纸片中任取一块,再剪成9块；…,这样类似地进行下去,能不能在第n次剪出的纸片恰好是2025块？若能,求出这个n的值；若不能,请说明理由。

答案： 2.能.由题意,得每剪一次,纸片的块数比以前增加8块,剪了n次,就应该有$(8n+1)$块纸片,
根据题意,得$8n+1=2025$,解得$n=253$.
即剪253次后,总块数恰好是2025块.