《2025年实验班提优训练七年级数学上册苏科版》

2. 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
$15×15= 1×2×100+25= 225$；
$25×25= 2×3×100+25= 625$；
$35×35= 3×4×100+25= 1225$；
…
请用含a(a为正整数)的式子表示上述的规律：(10a+5)(10a+5)=100a²+100a+25.

答案： (10a+5)(10a+5)=100a²+100a+25

变式2.1 已知$1+\frac{1}{3}= \frac{4}{3}= \frac{2^2}{3}$,$2+\frac{1}{4}= \frac{9}{4}= \frac{3^2}{4}$,$3+\frac{1}{5}= \frac{16}{5}= \frac{4^2}{5}$,$4+\frac{1}{6}= \frac{25}{6}= \frac{5^2}{6}$. 设n为正整数,请用关于n的等式表示这个规律n+1/(n+2)=(n+1)²/(n+2).

答案： n+1/(n+2)=(n+1)²/(n+2)

变式2.2 裂项相消法 观察下面的变形规律：
$\frac{1}{1×2}= 1 - \frac{1}{2}$；
$\frac{1}{2×3}= \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3×4}= \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$；…
解答下面的问题：
(1)根据上述变化规律写出下面等号后面的式子：
$\frac{1}{4×5}=$$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；$\frac{1}{2024×2025}=$$\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$.
若n为正整数,猜想$\frac{1}{n(n+1)}=$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
(2)求值：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2024×2025}$.
$\frac{2024}{2025}$

答案：
(1)1/4-1/5；1/2024-1/2025；1/n-1/(n+1)；
(2)2024/2025