《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

9. 已知$\triangle ABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1) 点A的坐标为 $\underline{\quad\quad}$,点C的坐标为 $\underline{\quad\quad}$.
(2) 画出$\triangle ABC$绕点C按顺时针方向旋转$90^\circ得到的\triangle A'B'C$.
(3) 求点A旋转到点$A'$经过的路径长.

答案：

(1) (0, 4); (3, 1).
(2) 如图所示.
(3)
∵AC = $3\sqrt{2}$，
∴点A旋转到点A'经过的路径长为$\frac{90×3\sqrt{2}×\pi}{180}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\pi$.

10. 如图,在等腰三角形ABC中,$AB = AC$,以AB为直径作$\odot O$交BC于点D,过点D作$DF \perp AC$于点E,交BA的延长线于点F.
(1) 求证:DF是$\odot O$的切线.
(2) 若$CE = \sqrt{3}$,$CD = 2$,求图中阴影部分的面积(结果用$\pi$表示).

答案：
(1) 连接OD.
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C.
∵OB = OD，
∴∠B = ∠ODB.
∴∠ODB = ∠C.
∴AC//OD.
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF.
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线.
(2) 连接AD.
设⊙O的半径为r.
∵在Rt△CED中，CE = $\sqrt{3}$，CD = 2，
∴ED = $\sqrt{CD^2 - CE^2}=1$.
∴易知∠C = 30°.
∴∠B = 30°.
∴∠AOD = 60°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB = 90°，即AD⊥BC.
又
∵AB = AC，
∴CD = BD = 2.
在Rt△ABD中，∠B = 30°，
∴AD = $\frac{1}{2}AB = r$.
∴易得BD = $\sqrt{3}AD = \sqrt{3}r = 2$.
∴r = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
∴AC = AB = 2r = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
∴AE = AC - CE = $\frac{4\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴$S_{阴影}=S_{四边形AODE}-S_{扇形OAD}=\frac{1}{2}×(\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3})×1-\frac{60×\pi×(\frac{2\sqrt{3}}{3})^2}{360}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi}{9}$.

11. $\star$如图,在扇形BOC中,$\angle BOC = 60^\circ$,D为$\widehat{BC}$的中点,E为半径OB上一动点.若$OB = 1$,则涂色部分周长的最小值为 $\underline{\quad\quad}$.

答案：
$\sqrt{2}+\frac{\pi}{6}$ 解析:如图，作点D关于OB的对称点D'，连接D'C交OB于点E'，连接E'D，OD'，OD.
∴DE' = D'E'.
∴当点E在点E'处时，DE + CE + $\overset{\frown}{CD}$ = D'E' + CE' + $\overset{\frown}{CD}$ = CD' + $\overset{\frown}{CD}$，此时涂色部分的周长最小.由题意，得∠COD = ∠DOB = ∠BOD' = 30°.
∴∠COD' = 90°.
∴CD' = $\sqrt{OC^2 + D'O^2}=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$，$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{30×\pi×1}{180}=\frac{\pi}{6}$.
∴涂色部分周长的最小值为$\sqrt{2}+\frac{\pi}{6}$.

方法归纳：由三条线围成的图形周长的最小值的一般求法：求三条线（线段、圆弧）围成的图形的周长的最小值的一般方法如下：利用轴对称中的“最短路径”的求法，构建基本图形进行计算.

12. 在$\odot O$中,四边形ABCD内接于$\odot O$,$\odot O$的半径为3,对角线BD与AC相互垂直.
(1) 如图①,若$\angle CAD = 2\angle BAC$,求证:$AC = AD$.
(2) 如图②,过点D作$DF \perp AB$,垂足为F,交AC于点E.若$AE = 3$,求$\widehat{BD}$的长.

答案：

(1) 如图①，延长DB到点H，使BH = BC，连接AH，设BD与AC交于点G.
设∠BAC = $\alpha$，则∠CAD = 2∠BAC = 2$\alpha$.
∵BD⊥AC，
∴∠AGH = ∠AGD = 90°.
∴∠ABG = 90° - ∠BAC = 90° - $\alpha$.
又
∵∠CBD = ∠CAD = 2$\alpha$，
∴∠ABC = ∠ABG + ∠CBD = 90° - $\alpha$ + 2$\alpha$ = 90° + $\alpha$.
∵∠ABH为△ABG的一个外角，
∴∠ABH = ∠AGH + ∠BAC = 90° + $\alpha$.
∴∠ABH = ∠ABC.
在△ABH和△ABC中，
$\begin{cases}BH = BC, \\\angle ABH = \angle ABC, \\AB = AB,\end{cases}$
∴△ABH≌△ABC.
∴∠BAH = ∠BAC = $\alpha$，AH = AC.
∴∠HAG = ∠BAH + ∠BAC = 2$\alpha$.
∴∠HAG = ∠CAD = 2$\alpha$.
在△AGH和△AGD中，
$\begin{cases}\angle HAG = \angle DAG, \\AG = AG, \\\angle AGH = \angle AGD,\end{cases}$
∴△AGH≌△AGD.
∴AH = AD.
∴AC = AD.
(2) 如图②，连接OA，OB，OD，过点O作ON⊥AD于点N，延长ON交⊙O于点M.
∴∠AON = $\frac{1}{2}\angle AOD$，AN = $\frac{1}{2}AD$.
∵∠ABD = $\frac{1}{2}\angle AOD$，
∴∠ABD = ∠AON.
∵DF⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BAC + ∠AEF = 90°，∠BAC + ∠ABD = 90°.
∴∠AEF = ∠ABD.
∴∠AEF = ∠AON.
∵⊙O的半径为3，AE = 3，
∴AE = AO = 3.
∵DF⊥AB，ON⊥AD，
∴∠AFE = ∠ANO = 90°.
在△AFE和△ANO中，
$\begin{cases}\angle AFE = \angle ANO, \\\angle AEF = \angle AON, \\AE = AO,\end{cases}$
∴△AFE≌△ANO.
∴AF = AN = $\frac{1}{2}AD$.
易得在Rt△ADF中，∠ADF = 30°.
∴∠BAD = 60°.
∴∠BOD = 120°.
∴$\overset{\frown}{BD}$的长 = $\frac{120×\pi×3}{180}=2\pi$.