《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

5. 如图,抛物线$y= a(x-1)^{2}-3(a≠0)$与y轴交于点A(0,-2),顶点为B.
(1)试确定a的值,并写出点B的坐标.
(2)若一次函数的图象经过A,B两点,试写出该一次函数的解析式.
(3)试在x轴上求一点P,使得△PAB的周长取最小值.

答案：
(1)将A(0,-2)代入y=a(x-1)²-3，
∴-2=a-3.
∴a=1.
∴抛物线对应的函数解析式为y=(x-1)²-3.
∴B(1,-3).
(2)设直线AB对应的函数解析式为y=kx+b.
将A(0,-2),B(1,-3)代入y=kx+b，得{-2=b,-3=k+b,解得{k=-1,b=-2.
∴直线AB对应的函数解析式为y=-x-2.
(3)设点A关于x轴对称的点为C，
∴C(0,2).
设直线CB对应的函数解析式为y=mx+n.
当直线CB与x轴交于点P时，△PAB的周长取最小值.
把C(0,2),B(1,-3)代入y=mx+n，得{2=n,-3=m+n,解得{m=-5,n=2.
∴直线CB对应的函数解析式为y=-5x+2.
把y=0代入y=-5x+2，得-5x+2=0，解得x=$\frac{2}{5}$.
∴点P的坐标为($\frac{2}{5}$,0).

6. 如图,二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象经过点A(-1,0),B(5,0),C(0,-5),D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,交BC于点E.
(1)求二次函数的解析式及点D的坐标.
(2)连接CD,求△CDE的面积.

答案：
(1)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-5).
把C(0,-5)代入，得-5=a×(0+1)×(0-5)，解得a=1.
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x-5)=x²-4x-5.
∵y=x²-4x-5=(x-2)²-9，
∴D(2,-9).
(2)设直线BC对应的函数解析式为y=mx+n.
把B(5,0),C(0,-5)分别代入，得{5m+n=0,n=-5,解得{m=1,n=-5.
∴直线BC对应的函数解析式为y=x-5.
当x=2时，y=x-5=-3.
∴E(2,-3).
∴△CDE的面积=$\frac{1}{2}$×(-3+9)×2=6.

7. 已知抛物线$y= a(x-1)^{2}+h$经过点(0,-3),(3,0).
(1)求a,h的值.
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到新的抛物线,直接写出新抛物线对应的函数解析式.

答案：
(1)将(0,-3)和(3,0)分别代入y=a(x-1)²+h，得{a×(0-1)²+h=-3,a×(3-1)²+h=0,解得{a=1,h=-4.
(2)新抛物线对应的函数解析式为y=(x-1-1)²-4+2=x²-4x+2.

8. 已知抛物线$y= 2x^{2}-4x+1$,求：答案讲解
(1)它关于x轴对称的抛物线对应的函数解析式.
(2)它关于y轴对称的抛物线对应的函数解析式.
(3)它关于原点对称的抛物线对应的函数解析式.

答案：
∵y=2x²-4x+1=2(x-1)²-1，
∴抛物线的顶点坐标为(1,-1).
(1)
∵点(1,-1)关于x轴对称的对应点的坐标为(1,1)，
∴原抛物线关于x轴对称的抛物线对应的函数解析式为y=-2(x-1)²+1.
(2)
∵点(1,-1)关于y轴对称的对应点的坐标为(-1,-1)，
∴原抛物线关于y轴对称的抛物线对应的函数解析式为y=2(x+1)²-1.
(3)
∵点(1,-1)关于原点对称的对应点的坐标为(-1,1)，
∴原抛物线关于原点对称的抛物线对应的函数解析式为y=-2(x+1)²+1.