《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

典例2 用指定的方法解下列方程：
(1)$(3x + 1)^2 = 16$(直接开平方法).
(2)$3x^2 + 6x - 1 = 0$(配方法).
(3)$3x^2 - 1 = 2x + 5$(公式法).
(4)$(x - 3)^2 - 4x(3 - x) = 0$(因式分解法).

答案：
(1)$x_{1}=1,x_{2}=-\frac {5}{3}.$
(2)$x_{1}=\frac {2\sqrt {3}}{3}-1,x_{2}=-\frac {2\sqrt {3}}{3}-1.$
(3)$x_{1}=\frac {1+\sqrt {19}}{3},x_{2}=\frac {1-\sqrt {19}}{3}.$
(4)$x_{1}=3,x_{2}=\frac {3}{5}.$

[变式] 用指定的方法解下列方程：
(1)$(4y - 1)^2 - 25 = 0$(直接开平方法).
(2)$x(x - 5) + 2x = 2$(公式法).
(3)$2x^2 + 3x - 2 = 0$(配方法).
(4)$(x + 1)^2 = 4(x + 1)$(因式分解法).

答案：
(1)$y_{1}=\frac {3}{2},y_{2}=-1.$
(2)$x_{1}=\frac {3+\sqrt {17}}{2},x_{2}=\frac {3-\sqrt {17}}{2}.$
(3)$x_{1}=\frac {1}{2},x_{2}=-2.$
(4)$x_{1}=-1,x_{2}=3.$

典例3 已知关于x的方程$kx^2 - (3k - 1)x + 2(k - 1) = 0$.
(1)求证：无论k为何实数,方程总有实数根.
(2)若此方程有两个实数根$x_1,x_2$,且$|x_1 - x_2| = 2$,求k的值.

答案：
(1)当$k=0$时,方程为$x-2=0$,方程有实数根.
当$k≠0$时,方程为一元二次方程,
$\Delta =[-(3k-1)]^{2}-8k(k-1)=k^{2}+2k+1=(k+1)^{2}.$
$\because (k+1)^{2}≥0,$
∴一元二次方程有实数根.
∴无论k为何实数,方程总有实数根.
(2)由题意,知$x_{1}+x_{2}=\frac {3k-1}{k},$
$x_{1}x_{2}=\frac {2(k-1)}{k}.$
由$|x_{1}-x_{2}|=2$,可得$(x_{1}-x_{2})^{2}=4,$
即$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=4.$
$\therefore (\frac {3k-1}{k})^{2}-4\cdot \frac {2(k-1)}{k}=4.$
整理,得$3k^{2}-2k-1=0$,解得$k_{1}=1,k_{2}=-\frac {1}{3}.$
经检验,$k_{1}=1,k_{2}=-\frac {1}{3}$都是关于k的方程的根.
∴k的值为1或$-\frac {1}{3}.$

[变式] 已知关于x的一元二次方程$x^2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0$.
(1)求证：不论实数m取何值,方程总有实数根.
(2)若该方程的两个根是一个矩形的两条邻边的长,则当这个矩形的对角线长为5时,求m的值.

答案：
(1)$\because \Delta =[-(m+5)]^{2}-4(3m+6)=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}≥0,$
∴不论实数m取何值,方程总有实数根.
(2)设矩形的两条邻边的长分别为a,b.
根据根与系数的关系,得$a+b=m+5＞0,ab=3m+6＞0.$
由题意,易得$a^{2}+b^{2}=25,$
$\therefore (a+b)^{2}-2ab=25$,即$(m+5)^{2}-2(3m+6)=25.$
整理,得$m^{2}+4m-12=0$,解得$m_{1}=-6$(不合题意,舍去),$m_{2}=2.$
∴m的值为2.

典例4 阅读材料,回答问题.
解方程：$(x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 4 = 0$.
小明将$x^2 - 1$视为一个整体,然后设$x^2 - 1 = y$,则$(x^2 - 1)^2 = y^2$.原方程可化为$y^2 - 5y + 4 = 0$,解得$y_1 = 1,y_2 = 4$.当$y = 1$时,$x^2 - 1 = 1$,解得$x = \pm \sqrt{2}$；当$y = 4$时,$x^2 - 1 = 4$,解得$x = \pm \sqrt{5}$.综上所述,原方程的解为$x_1 = \sqrt{2},x_2 = -\sqrt{2},x_3 = \sqrt{5},x_4 = -\sqrt{5}$.
请你参考小明的思路,解方程：$x^4 - 4x^2 - 5 = 0$.

答案： 设$x^{2}=t.$
$x^{4}-4x^{2}-5=0$可化为$t^{2}-4t-5=0$,则$(t+1)(t-5)=0$,解得$t_{1}=-1,t_{2}=5.$
当$t=-1$时,方程$x^{2}=-1$无实数根;当$t=5$时,$x^{2}=5$,解得$x=\pm \sqrt {5}.$
综上所述,原方程的解为$x_{1}=\sqrt {5},x_{2}=-\sqrt {5}.$