《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 已知$\odot O$的半径是 4,点 P 到圆心 O 的距离d 为方程$x^{2}-4x-5= 0$的一个根,则点 P 在(B)
A.$\odot O$的内部
B.$\odot O$的外部
C.$\odot O上或\odot O$的内部
D.$\odot O上或\odot O$的外部

答案： B

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 60^{\circ },BC= 4\sqrt {3}\ cm$,则$\triangle ABC$的外接圆的直径是8cm.

答案： 8

3. 如图,在矩形 ABCD 中,$AB= 2,AD= 1$,以顶点 D 为圆心作半径为 r 的圆.若要求另外三个顶点 A,B,C 中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则 r 的取值范围是$1＜r＜\sqrt{5}$.

答案： $1＜r＜\sqrt{5}$

4. 如图,在$5×3$的网格中,小正方形的边长均为 1.
(1)画$\triangle ABC$的外接圆圆心 O.
(2)求$\triangle ABC$的外接圆的半径.

答案： （1）如图,点O即为所求.
（2）如图,过点O作$OH\perp BC$于点H,连接OB.
在$Rt\triangle OBH$中,$OH=\frac{1}{2},BH=\frac{5}{2}$,由勾股定理,得$OB=\frac{\sqrt{26}}{2}$.
$\therefore \triangle ABC$的外接圆的半径为$\frac{\sqrt{26}}{2}$.

5. 如图,在$5×5$的正方形网格中,一条圆弧经过 A,B,C 三点,那么点 M 在这条圆弧所在圆的(C)
A.内部
B.外部
C.圆上
D.不能确定

答案： C

6. 若点 O 是等腰三角形 ABC 的外心,$\angle BOC= 60^{\circ }$,底边$BC= 2$,则$\triangle ABC$的面积为($2+\sqrt{3}$或$2 - \sqrt{3}$)
A.$2+\sqrt {3}$
B.$\frac {2\sqrt {3}}{3}$
C.$2+\sqrt {3}或2-\sqrt {3}$
D.$4+2\sqrt {3}或2-\sqrt {3}$

答案： C 解析:如图①,当圆心O在$\triangle ABC$内部时,过点A作$AE\perp BC$于点E.$\therefore BE=CE=\frac{1}{2}BC=1$.$\because OB=OC,\angle BOC=60^\circ,\therefore \triangle OBC$是等边三角形.$\therefore OB=OC=BC=2$.$\therefore OE=\sqrt{3}$.$\therefore AE=OA+OE=2+\sqrt{3}$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE=2+\sqrt{3}$.如图②,当圆心O在$\triangle ABC$外部时,连接OA交BC于点E.同理,易得$AE=OA - OE=2-\sqrt{3}$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE=2-\sqrt{3}$.综上所述,$\triangle ABC$的面积为$2+\sqrt{3}$或$2 - \sqrt{3}$.

7. 如图,在由边长为 1 的小正方形组成的$9×9$网格中选取 9 个格点 A,B,C,D,E,F,G,H,I.若以点 A 为圆心、r 为半径画圆,选取的格点中除点 A 外恰好有 4 个点在圆内,则 r 的取值范围是$4＜r\leq\sqrt{26}$.

答案： $4＜r\leq\sqrt{26}$

8. 如图,$\odot O$是等边三角形 ABC 的外接圆,D 是$\overset{\frown}{AC}$上一动点(不与点 A,C 重合).有下列结论:①$\angle ADB= \angle BDC$;②$DA= DC$;③当 DB 最长时,$DB= 2DC$.其中,一定正确的是①③(填序号).

答案： ①③ 解析:$\because \triangle ABC$是等边三角形,$\therefore \angle BAC=\angle ACB=60^\circ$.$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB},\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore \angle ADB=\angle ACB=60^\circ,\angle BDC=\angle BAC=60^\circ$.$\therefore \angle ADB=\angle BDC$.故①正确.$\because D$是$\overset{\frown}{AC}$上一动点,$\therefore \overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{CD}$不一定相等.$\therefore DA$与DC不一定相等.故②不一定正确.当DB最长时,DB为$\odot O$的直径,$\therefore \angle BCD=90^\circ$.$\because \angle BDC=60^\circ,\therefore \angle DBC=30^\circ$.$\therefore DB=2DC$.故③正确.综上所述,一定正确的是①③.