《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

10. 如图,点 I 是△ABC 的内心,AI 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点 D,OI⊥AD,IM⊥AB,连接 BD. 求证：
(1)DB= DI.
(2)BC= 2AM.

答案：

(1) 如图，连接BI。
∵ 点I是$\triangle ABC$的内心，
∴ $\angle BAD = \angle CAD$，$\angle ABI = \angle CBI$。
∴ $\angle BAD + \angle ABI = \angle CAD + \angle CBI$。
∵ $\angle CAD = \angle CBD$，
∴ $\angle BAD + \angle ABI = \angle CBD + \angle CBI$。
∵ $\angle BID = \angle BAD + \angle ABI$，$\angle IBD = \angle CBD + \angle CBI$，
∴ $\angle BID = \angle IBD$。
∴ $DB = DI$。
(2) 如图，连接OD，交BC于点E。
∵ $\angle BAD = \angle CAD$，
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$。
∴ $OD\perp BC$，$BE = CE$。
∵ $OI\perp AD$，$IM\perp AB$，
∴ $\angle BED = \angle AMI = 90^\circ$，$IA = DI$。
∵ $DB = DI$，
∴ $DB = IA$。
∵ $\angle DBE = \angle DAC$，$\angle IAM = \angle DAC$，
∴ $\angle DBE = \angle IAM$。
在$\triangle DBE$和$\triangle IAM$中，
$\begin{cases}\angle BED = \angle AMI\\\angle DBE = \angle IAM\\DB = IA\end{cases}$
∴ $\triangle DBE\cong\triangle IAM$。
∴ $BE = AM$。
∴ $2BE = 2AM$。
∵ $BC = 2BE$，
∴ $BC = 2AM$。

11. 新考法·探究题 古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式,这个公式被称为“海伦-秦九韶公式”. 如果一个三角形的三边长分别是 a,b,c,记 $p= \frac{a+b+c}{2}$,那么三角形的面积 $S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边长分别为 a,b,c. 若 a= 3,b= 4,c= 5,则△ABC 的面积为 6.
如图,在△ABC 中,设 BC= a,AC= b,AB= c,$p= \frac{a+b+c}{2}$,⊙M 是△ABC 的内切圆,⊙N 分别与 AC 的延长线、AB 的延长线以及线段 BC 均只有一个公共点,⊙M 的半径为 m,⊙N 的半径为 n.
(1)连接 MA,MB,MC,则△ABC 被划分为三个小三角形,用 S 表示△ABC 的面积,即 $S= S_{\triangle MBC}+S_{\triangle MCA}+S_{\triangle MAB}$. $S= pm$ 是否成立？请证明你的结论.
(2)当∠CAB= 60°,m= 2,n= 6 时,求△ABC 的面积.

答案：

(1) 成立。
由题意，得$S = S_{\triangle MBC} + S_{\triangle MCA} + S_{\triangle MAB} = \frac{am}{2} + \frac{bm}{2} + \frac{cm}{2} = \frac{a + b + c}{2}×m$。
∵ $p = \frac{a + b + c}{2}$，
∴ $S = pm$。
(2) 如图，过点N分别作AB，CB，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，连接ME。
∵ $\odot N$分别与AC的延长线、AB的延长线以及线段BC均只有一个公共点，
∴ AD，AF，BC与$\odot N$分别相切于点D，F，E。
∴ $AD = AF$，$CF = CE$，$BE = BD$。
∴ $AD = AF = \frac{1}{2}(AD + AF) = \frac{1}{2}(AB + BD + AC + CF) = \frac{1}{2}(AB + BE + AC + CE) = \frac{1}{2}(AB + BC + CA) = p$。
∵ $ND\perp AB$，$NF\perp AC$，$ND = NF$，且易证点A，M，E，N在同一条直线上，
∴ AN平分$\angle CAB$。
∴ $\angle NAD = \frac{1}{2}\angle CAB = 30^\circ$。
在$Rt\triangle ADN$中，
∵ $DN = n = 6$，
∴ 易得$AD = \sqrt{3}ND = 6\sqrt{3} = p$。
∴ $S_{\triangle ABC} = pm = 6\sqrt{3}×2 = 12\sqrt{3}$。