《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

典例1 函数$y= x^2 + bx + c与y= x$的图象如图所示,现有下列结论：①$b^2 - 4c ＞ 1$；②$b + c + 1 = 1$；③$3b + c + 6 = 1$；④当$1 ＜ x ＜ 3$时,$x^2 + (b - 1)x + c ＜ 1$。

其中,正确的个数为(B)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

[变式] 如图,抛物线$y= ax^2 + bx + c$($a≠0$)的对称轴为直线$x= -2$,且过点$(1,0)$。现有下列结论：①$abc ＜ 0$；②$5a + c = 0$；③对于任意实数$m$,都有$2b + bm ≤ 4a - am^2$；④若$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$是抛物线上任意两点,且$|x_1 + 2| ＜ |x_2 + 2|$,则$y_1 ＜ y_2$。其中,正确的是( )C


A.①②
B.②③④
C.①②④
D.①②③④

答案： C 解析:由图象,可得a＞0,b＞0,c＜0.
∴abc＜0.故①正确.
∵抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,且过点(1,0),
∴-b/(2a)=-2,a+b+c=0.
∴b=4a.
∴a+b+c=a+4a+c=0,即5a+c=0.故②正确.
∵当x=-2时,y有最小值,为4a-2b+c,
∴am²+bm+c≥4a-2b+c,即2b+bm≥4a-am²(m为任意实数).故③错误.
∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-2,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是图象上任意两点,且|x₁+2|＜|x₂+2|,
∴y₁＜y₂.故④正确.综上所述,正确的是①②④.