《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 1,BC= √3. 若把△ABC 绕边 AB 所在的直线旋转一周,则所得几何体的表面积为(B)
A.(√3+3)π
B.(√3+3)/2 π
C.2√3π
D.(2√3+3)π

答案： B

2. (2024·绥化)用一个圆心角为 126°,半径为 10 cm 的扇形作一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面圆的半径为$\frac{7}{2}$cm.

答案： $\frac{7}{2}$

3. (2024·龙东地区)若圆锥的底面圆半径为 3,侧面积为 36π,则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是$90^\circ$.

答案： $90^\circ$

4. 如图①,在等腰三角形 ABC 中,∠BAC= 120°,AD 是∠BAC 的平分线,且 AD= 6,以点 A 为圆心,AD 长为半径画弧,交 AB 于点 E,交 AC 于点 F.
(1)求阴影部分的面积.
(2)将阴影部分剪掉,余下扇形 AEF,将扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面(如图②),AE 与 AF 正好重合,圆锥侧面无重叠,且底面圆的半径为 r,求这个圆锥的高 h.

答案：
(1)
∵ 在等腰三角形 ABC 中，$\angle BAC = 120^\circ$，
∴ 易得$\angle B = 30^\circ$．
∵ AD 是$\angle BAC$的平分线，
∴ $AD\perp BC$，$BD = CD$．
∴ 易知$BD = \sqrt{3}AD = 6\sqrt{3}$．
∴ $BC = 2BD = 12\sqrt{3}$．
∴ $S_{阴影}=S_{\triangle ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×6×12\sqrt{3}-\frac{120×\pi×6^2}{360}=36\sqrt{3}-12\pi$．
(2)
∵ 圆锥的底面圆的半径为 r，
∴ $2\pi r = \frac{120×\pi×6}{180}$，解得$r = 2$．
∴ 这个圆锥的高$h = \sqrt{6^2 - 2^2}=4\sqrt{2}$．

5. 如图,从直径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为 90°的扇形,将剪下来的扇形围成一个圆锥(圆锥侧面无重叠). 这个圆锥的底面圆的半径是(B)
A.π/4
B.√2/4
C.1/2
D.1

答案： B

6. 新考向·传统文化《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问积及为米几何？”译文大致如下：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一(如图),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,那么这个米堆遮挡的墙面面积为(A)
A.80/π 平方尺
B.160/π 平方尺
C.128/π 平方尺
D.45π 平方尺

答案： A 解析：设圆锥的底面半径为 r 尺．由题意，可得$\frac{1}{4}×2\pi r = 8$，解得$r = \frac{16}{\pi}$．
∴ $2×\frac{1}{2}×\frac{16}{\pi}×5=\frac{80}{\pi}$（平方尺）．
∴ 这个米堆遮挡的墙面面积为$\frac{80}{\pi}$平方尺．

7. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,AD= 15 cm,把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩形纸片 EFCD 后,分别裁出扇形 BAF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则 AB 的长为(D)
A.7.5 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm

答案： D 解析：设圆锥的底面圆的半径为 r cm，则$DE = 2r$ cm，$AE = AB = (15 - 2r)$ cm．根据题意，得$\frac{90×\pi×(15 - 2r)}{180}=2\pi r$，解得$r = \frac{5}{2}$．
∴ $AB = 15 - 2×\frac{5}{2}=10$（cm）．