《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}= bx - c的解为x_{1}= -1$,$x_{2}= 3$,则二次函数$y= x^{2}-bx + c$图象的对称轴是(C)
A.直线$x= -1$
B.直线$x= 0$
C.直线$x= 1$
D.直线$x= 2$

答案： C

2. 若二次函数$y= x^{2}+bx + 3$的图象与x轴有两个不同的交点,则b的值不可能是(B)
A.4
B.-3
C.5
D.-6

答案： B

3. (2024·达州)抛物线$y= -x^{2}+bx + c$与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论中,正确的是(A)
A.$b + c＞1$
B.$b= 2$
C.$b^{2}+4c＜0$
D.$c＜0$

答案： A

4. 若二次函数$y= ax^{2}-(2m + 1)x的图象经过点(4,0)$,则关于x的一元二次方程$ax^{2}-(2m + 1)x= 0$的两个根为$x_{1}=0,x_{2}=4$。

答案： $x_{1}=0,x_{2}=4$

5. (2024·长春)若抛物线$y= x^{2}-x + c$(c是常数)与x轴没有交点,则c的取值范围是$c＞\frac{1}{4}$。

答案： $c＞\frac{1}{4}$

6. 已知二次函数$y= x^{2}+mx + m^{2}-3$(m为常数,且$m＞0$)的图象过点$P(2,4)$。
(1)求m的值。
(2)试判断二次函数$y= x^{2}+mx + m^{2}-3$的图象与x轴交点的个数,并说明理由。

答案：
(1) 将 $P(2,4)$ 代入 $y=x^{2}+mx+m^{2}-3$,得 $4=4+2m+m^{2}-3$,解得$m_{1}=1,m_{2}=-3$.
$\because m＞0$,
$\therefore m=1$.
(2) 二次函数 $y=x^{2}+mx+m^{2}-3$的图象与x轴交点的个数为2.
理由:$\because m=1$,
$\therefore y=x^{2}+x-2$.
$\because$ 在方程 $x^{2}+x-2=0$中,$\Delta=1^{2}+8=9＞0$,
$\therefore$ 二次函数 $y=x^{2}+mx+m^{2}-3$的图象与x轴交点的个数为2.

7. 已知$m＞n＞0$,关于x的方程$x^{2}+2x - 3 - m= 0的解为x_{1},x_{2}(x_{1}＜x_{2})$,关于x的方程$x^{2}+2x - 3 - n= 0的解为x_{3},x_{4}(x_{3}＜x_{4})$,则下列结论中,正确的是(B)
A.$x_{3}＜x_{1}＜x_{2}＜x_{4}$
B.$x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$
C.$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4}$
D.$x_{3}＜x_{4}＜x_{1}＜x_{2}$

答案： B

8. 分类讨论思想 已知二次函数$y= x^{2}+2(m - 2)x - m + 2$的图象与x轴最多有一个公共点,$y= m^{2}-2tm - 3$的最小值为3,则t的值为(D)
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{2}或-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}或-\frac{3}{2}$
D.$-\frac{5}{2}$

答案： D 解析:在 $x^{2}+2(m-2)x-m+2=0$中,$\Delta=[2(m-2)]^{2}-4(2-m)\leqslant0$,易得 $1\leqslant m\leqslant2$.对于 $y=m^{2}-2tm-3=(m-t)^{2}-t^{2}-3$,若 $t\geqslant2$,则当 $m=2$时,y取得最小值.$\therefore 4-4t-3=3$,解得 $t=-\frac{1}{2}$(舍去).若$t\leqslant1$,则当 $m=1$时,y取得最小值.
$\therefore 1-2t-3=3$,解得 $t=-\frac{5}{2}$.若$1＜t＜2$,则当 $m=t$时,y取得最小值,即 $t^{2}-2t^{2}-3=3$,方程无解.综上所述,$t=-\frac{5}{2}$.

9. 已知函数$y= mx^{2}+3mx + m - 1$的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为1 或 $-\frac{4}{5}$。

答案： 1 或 $-\frac{4}{5}$ 解析:当 $m=0$时,$y=-1$,函数图象与坐标轴只有一个交点,不合题意,舍去.当 $m\neq0$时,分情况讨论:① 函数图象过坐标原点,$m-1=0$,解得 $m=1$.② 函数图象与x轴、y轴各有一个交点,$\therefore$ 在$mx^{2}+3mx+m-1=0$中,$\Delta=(3m)^{2}-4m(m-1)=0$,解得 $m=0$(不合题意,舍去)或 $m=-\frac{4}{5}$.综上所述,m的值为1或$-\frac{4}{5}$.

10. 分类讨论思想 抛物线$y= ax^{2}+bx + c(a≠0)过点(0,2)$,且方程$ax^{2}+bx + c= 0的两个根是x_{1}= m$,$x_{2}= m + 6$。若当$0＜x＜\frac{1}{2}m + 2$时,总有$y＞2$,则m的取值范围是______$-4＜m＜-3$ 或 $-\frac{8}{3}\leqslant m＜0$。

答案： $-4＜m＜-3$ 或 $-\frac{8}{3}\leqslant m＜0$
解析:易得抛物线过点$(m,0),(m+6,0),\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=m+3$.$\because$ 抛物线过点$(0,2),\therefore$ 当$y=2$时,另一个解为 $x=2m+6$.$\because$ 当$0＜x＜\frac{1}{2}m+2$时,总有 $y＞2$,$\therefore \frac{1}{2}m+2＞0$.$\therefore m＞-4$.$\therefore 2m+6＞-2$.当 $2m+6＞0$,即 $m＞-3$时,要使 $y＞2$恒成立,需要抛物线开口向下,$\therefore \frac{1}{2}m+2\leqslant2m+6$,$m＜0$.$\therefore -\frac{8}{3}\leqslant m＜0$.当$2m+6=0$时,$(0,2)$是抛物线的顶点,此时需要抛物线开口向上,但与抛物线与x轴有交点矛盾;当$2m+6＜0$,即$-4＜m＜-3$时,要使 $y＞2$恒成立,需要抛物线开口向上,此时抛物线的对称轴在y轴左侧,符合题意.综上所述,m的取值范围是$-4＜m＜-3$或$-\frac{8}{3}\leqslant m＜0$.

11. 数形结合思想 在平面直角坐标系中,抛物线$y= ax^{2}+2ax - 3a(a≠0)$与y轴交于点A。
(1)求点A的坐标(用含a的代数式表示)。
(2)求抛物线与x轴的交点坐标。
(3)已知点$P(0,-2a)$,$Q(-2,2)$。若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,求a的取值范围。

答案：

(1)$\because$ 当 $x=0$时,$y=-3a$,$\therefore$ 点A的坐标为$(0,-3a)$.
(2) 当 $y=0$时,有 $ax^{2}+2ax-3a=0$,即 $a(x+3)(x-1)=0$.$\because a\neq0$,
$\therefore x=-3$或 $x=1$.
$\therefore$ 抛物线与x轴的交点坐标为$(-3,0),(1,0)$.
(3) ① 如图①,当 $a＞0$时,点 $A(0,-3a)$在y轴负半轴上,此时,点P,Q位于抛物线内部.
$\therefore$ 抛物线与线段PQ无交点.
② 如图②,当 $a＜0$时,点 $A(0,-3a)$在y轴正半轴上,当点Q在抛物线上时,有 $2=4a-4a-3a$,解得 $a=-\frac{2}{3}$.$\therefore$ 易得当$-\frac{2}{3}\leqslant a＜0$时,抛物线与线段PQ有一个交点.
综上所述,a的取值范围是$-\frac{2}{3}\leqslant a＜0$.