《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程$x(x+1)= 3(x+1)$的根是(C)
A.$x_{1}= x_{2}= 3$
B.$x_{1}= x_{2}= -1$
C.$x_{1}= 3,x_{2}= -1$
D.$x_{1}= 3,x_{2}= 0$

答案： C

2. 用因式分解法解方程,下列过程中,正确的是(D)
A.$x(x-4)= 0化为x-4= 0$
B.$(x-3)(x+4)= -3×4化为x-3= -3或x+4= 4$
C.$(x+5)(x-1)= 1化为x+5= 1或x-1= 1$
D.$(2x-5)(3x+2)= 0化为2x-5= 0或3x+2= 0$

答案： D

3. 等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2}-11x+24= 0$的两个根,则这个三角形的周长为(C)
A.19或14
B.14或16
C.19
D.14

答案： C

4. (1)一元二次方程$-x^{2}+\sqrt{5}x= 0$的根为$x_{1}=0$，$x_{2}=\sqrt{5}$.
(2)一元二次方程$(3x-2)^{2}-3x+2= 0$的根为$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{2}{3}$.

答案： （1）$x_{1}=0$，$x_{2}=\sqrt{5}$ （2）$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{2}{3}$

5. 已知$x= 2是关于x的一元二次方程kx^{2}+(k^{2}-2)x+2k+8= 0$的一个根,则$k$的值为-1或-2.

答案： -1或-2

6. 用适当方法解下列方程：
(1)$x^{2}-2\sqrt{3}x+2= 0$.
(2)$2x^{2}-5x-1= 0$.
(3)$(2x-1)^{2}= 3(1-2x)$.
(4)$(3x-1)^{2}= 4(2x+3)^{2}$.

答案： （1）$x_{1}=\sqrt{3}+1$，$x_{2}=\sqrt{3}-1$.（2）$x_{1}=\frac{5+\sqrt{33}}{4}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{33}}{4}$.（3）$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=-1$.（4）$x_{1}=-7$，$x_{2}=-\frac{5}{7}$.

7. 新考法·新定义题 对于实数$a,b$定义运算“※”为$a※b= a+b^{2}$,如$3※2= 3+2^{2}= 7$,则关于$x的方程x※(x+1)= 5$的解是(D)
A.$x_{1}= x_{2}= -4$
B.$x_{1}= x_{2}= -1$
C.$x_{1}= -1,x_{2}= 4$
D.$x_{1}= 1,x_{2}= -4$

答案： D

8. 若关于$x的方程x^{2}-2mx+m^{2}= 4的两个根x_{1},x_{2}满足x_{1}= 2x_{2}+3$,且$x_{1}＞x_{2}$,则$m$的值为(C)
A.-3
B.1
C.3
D.9

答案： C 解析：$\because x^{2}-2mx+m^{2}=4$，$\therefore (x-m+2)(x-m-2)=0$.$\therefore x-m+2=0$或$x-m-2=0$.$\because x_{1}＞x_{2}$，$\therefore x_{1}=m+2$，$x_{2}=m-2$.$\because x_{1}=2x_{2}+3$，$\therefore m+2=2(m-2)+3$，解得$m=3$.

9. 如果$x^{2}-x-1= (x+1)^{0}$,那么$x= $2.

答案： 2 解析：$\because x^{2}-x-1=(x+1)^{0}$，$\therefore x+1\neq0$，$(x+1)^{0}=1$.由$x+1\neq0$，得$x\neq-1$.$\therefore x^{2}-x-1=1$.$\therefore x^{2}-x-2=0$.$\therefore (x+1)(x-2)=0$.$\therefore x_{1}=-1$(不合题意，舍去)，$x_{2}=2$.$\therefore x$的值为2.

10. 新考法·学科内容综合 一元二次方程$x^{2}-4x-12= 0的两根分别是一次函数y= kx+b的图象与x轴交点的横坐标和与y$轴交点的纵坐标,则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是______6.

答案： 6 解析：解方程$x^{2}-4x-12=0$，得$x_{1}=6$，$x_{2}=-2$，$\because$一元二次方程$x^{2}-4x-12=0$的两根分别是一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交点的横坐标和与$y$轴交点的纵坐标，$\therefore$这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是$\frac{1}{2}×6×|-2|=6$.

11. 新考法·新定义题 对于两个不相等的实数$a,b$,我们规定符号$\max\{a,b\}$表示$a,b$中较大的数,如$\max\{-1,3\}= 3$.
(1)方程$x^{2}+2x= \max\{0,-1\}$的解为$x_{1}=0$，$x_{2}=-2$.
(2)方程$\max\{2x-1,x\}= x^{2}$的解为$x=0$.

答案： （1）$x_{1}=0$，$x_{2}=-2$ 解析：$\because x^{2}+2x=\max\{0,-1\}=0$，$\therefore x^{2}+2x=0$.$\therefore x(x+2)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-2$.$\therefore$方程$x^{2}+2x=\max\{0,-1\}$的解为$x_{1}=0$，$x_{2}=-2$.（2）$x=0$ 解析：当$2x-1＞x$，即$x＞1$时，$\max\{2x-1,x\}=2x-1=x^{2}$，即$2x-1=x^{2}$，解得$x_{1}=x_{2}=1$，不符合题意.当$2x-1＜x$，即$x＜1$时，$\max\{2x-1,x\}=x=x^{2}$，即$x=x^{2}$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=0$.$\because x＜1$，$\therefore x=0$.