《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

13. 先阅读下面的材料,再按要求解答问题.
我们规定一种运算：$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix} = ad - bc$,例如：$\begin{vmatrix} 2&3 \\ 4&5 \end{vmatrix} = 2×5 -4×3= 10 -12= -2$.
(1)直接写出$\begin{vmatrix} -1&2 \\ -2&0.5 \end{vmatrix} $的计算结果.
(2)当$x$取何值时,$\begin{vmatrix} x&0.5 -x \\ 1&2x \end{vmatrix} $的值为0？
(3)若$\begin{vmatrix} 0.5x -1&y \\ 8&3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x&-y \\ 0.5&-1 \end{vmatrix} = -7$,直接写出$x和y$的值.

答案：
(1)$\because\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$,$\therefore\begin{vmatrix}-1&2\\-2&0.5\end{vmatrix}=-1×0.5-(-2)×2=-0.5+4=3.5$.
(2)由题意,得$2x^{2}-1×(0.5-x)=0$.整理,得$4x^{2}+2x-1=0$,解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$.$\therefore$当$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$或$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$时,$\begin{vmatrix}x&0.5-x\\1&2x\end{vmatrix}$的值为0.
(3)由题意,得$\begin{vmatrix}0.5x -1&y \\ 8&3 \end{vmatrix} = 3(0.5x -1)-8y$,$\begin{vmatrix} x&-y \\ 0.5&-1 \end{vmatrix} = -x + 0.5y$,$\therefore\begin{cases}3(0.5x-1)-8y=-7,\\-x+0.5y=-7,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=8,\\y=2.\end{cases}$

14. 已知$□ ABCD的两边AB$,$AD的长是关于x的方程x^2-mx +\frac{m}{2}+\frac{3}{4}= 0$的两个实数根. 答案讲解
(1)当$m$为何值时,四边形$ABCD$是菱形？求出这时菱形的边长.
(2)若$AB$的长为2,则$□ ABCD$的周长是多少？

答案：
(1)
∵ 四边形ABCD是菱形,$\therefore AB=AD$.
∵ AB,AD的长是关于x的方程$x^{2}-mx+\frac{m}{2}+\frac{3}{4}=0$的两个实数根,$\therefore\Delta=(-m)^{2}-4×(\frac{m}{2}+\frac{3}{4})=(m-1)^{2}-4=0$.$\therefore m=-1$或$m=3$.当$m=-1$时,原方程为$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=-\frac{1}{2}$,不合题意,舍去.当$m=3$时,原方程为$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=\frac{3}{2}$.$\therefore$当$m=3$时,四边形ABCD是菱形,边长是$\frac{3}{2}$.
(2)把$x=2$代入原方程,得$4-2m+\frac{m}{2}+\frac{3}{4}=0$,解得$m=\frac{19}{6}$.将$m=\frac{19}{6}$代入原方程,得$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{7}{3}=0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=\frac{7}{6}$.$\therefore□ ABCD$的周长是$2×(2+\frac{7}{6})=\frac{19}{3}$.

15. 若关于$x的一元二次方程x^2-ax +1= 0$有两个相等的实数根,该实数也是关于$x的一元二次方程(a -2)x^2+bx +1= 0$的根,则关于$x的方程(a -2)x^2+bx +1= 0$的根为______$x_{1}=-1$,$x_{2}=\frac{1}{4}$.

答案： $x_{1}=-1$,$x_{2}=\frac{1}{4}$ 解析:
∵ 关于x的一元二次方程$x^2-ax +1= 0$有两个相等的实数根,$\therefore\Delta=(-a)^{2}-4×1×1=0$,解得$a=\pm2$.
∵ 关于x的方程$(a -2)x^2+bx +1= 0$是一元二次方程,$\therefore a=-2$.$\therefore$关于x的一元二次方程$x^2-ax +1= 0$为$x^2+2x+1=0$,解得$x_{1}=x_{2}=-1$.由题意,得$x=-1$是关于x的一元二次方程$-4x^2+bx +1=0$的根.$\therefore-4×(-1)^{2}-b+1=0$.$\therefore b=-3$.$\therefore$关于x的方程$(a -2)x^2+bx +1= 0$为$-4x^2-3x+1=0$,解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=\frac{1}{4}$.

16. 如图,四边形$ACDE$是证明勾股定理时用到的一个图形,$a$,$b$,$c分别是Rt\triangle ABC和Rt\triangle BED$三边的长,易知$AE= \sqrt{2}c$,这时我们把关于$x的形如ax^2+\sqrt{2}cx +b= 0$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”. 请解答下列问题： 答案讲解
(1)有下列方程：①$2x^2+\sqrt{5}x +1= 0$；②$3x^2+5\sqrt{2}x +4= 0$. 其中,是“勾系一元二次方程”的为______(填序号).②
(2)求证：关于$x$的“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx +b= 0$必有实数根.∵“$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$”是“勾系一元二次方程”,$\therefore a$,$b$,$c$为同一直角三角形的三边的长,且c为斜边的长.$\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}$.$\because\Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a-b)^{2}\geq0$,$\therefore$关于x的“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$必有实数根.
(3)若$x= -1$是“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx +b= 0$的一个根,且四边形$ACDE$的周长是12,求$\triangle ABC$的面积.∵$x=-1$是“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根,$\therefore a-\sqrt{2}c+b=0$.$\therefore a+b=\sqrt{2}c$.
∵ 四边形ACDE的周长是12,$\therefore 2(a+b)+\sqrt{2}c=12$.$\therefore 2\sqrt{2}c+\sqrt{2}c=12$.$\therefore c=2\sqrt{2}$.$\therefore a+b=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$.$\therefore(a+b)^{2}=16$.$\therefore a^{2}+2ab+b^{2}=16$.
∵$a^{2}+b^{2}=c^{2}=(2\sqrt{2})^{2}=8$,$\therefore 2ab+8=16$.$\therefore ab=4$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4=2$.

答案：
(1)②.
(2)
∵“$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$”是“勾系一元二次方程”,$\therefore a$,$b$,$c$为同一直角三角形的三边的长,且c为斜边的长.$\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}$.$\because\Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a-b)^{2}\geq0$,$\therefore$关于x的“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$必有实数根.
(3)
∵$x=-1$是“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根,$\therefore a-\sqrt{2}c+b=0$.$\therefore a+b=\sqrt{2}c$.
∵ 四边形ACDE的周长是12,$\therefore 2(a+b)+\sqrt{2}c=12$.$\therefore 2\sqrt{2}c+\sqrt{2}c=12$.$\therefore c=2\sqrt{2}$.$\therefore a+b=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$.$\therefore(a+b)^{2}=16$.$\therefore a^{2}+2ab+b^{2}=16$.
∵$a^{2}+b^{2}=c^{2}=(2\sqrt{2})^{2}=8$,$\therefore 2ab+8=16$.$\therefore ab=4$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×4=2$.