《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. (2024·雅安)在平面直角坐标系中,二次函数$y= ax^2+bx+3的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)$两点,与$y轴交于点C$.
(1)求二次函数的解析式.
(2)如图①,$P是线段BC$上的一个动点(不与点$B,C$重合),过点$P作y$轴的平行线,交抛物线于点$Q$.当线段$PQ$的长最大时,求点$Q$的坐标.
(3)如图②,在(2)的条件下(线段$PQ$的长最大),过点$Q的直线与抛物线交于点D$,且$\angle CQD= 2\angle OCQ$.在$y轴上是否存在点E$,使得$\triangle BDE$为等腰三角形? 若存在,请直接写出点$E$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 1.
(1)将A(1,0),B(3,0)代入y=ax²+bx+3,得{a+b+3=0,9a+3b+3=0,解得{a=1,b=-4.
∴二次函数的解析式为y=x²−4x+3.
(2)在y=x²−4x+3中,令x=0,得y=3.
∴C(0,3).
由点B,C的坐标，易得直线BC对应的函数解析式为y=−x+3.
设P(x,3−x),则Q(x,x²−4x+3).
∴PQ=3−x−(x²−4x+3)=−x²+3x=−(x−$\frac{3}{2}$)²+$\frac{9}{4}$.
∵−1＜0,
∴当x=$\frac{3}{2}$时，PQ的长有最大值.
∴x²−4x+3=−$\frac{3}{4}$.
∴点Q的坐标为($\frac{3}{2}$,−$\frac{3}{4}$).
(3)存在
由点C,Q的坐标,易得直线CQ对应的函数解析式为y=−$\frac{5}{2}$x+3.
过点Q作TQ//y轴,交x轴于点T,则∠TQC=∠OCQ.
∵∠CQD=2∠OCQ,
∴∠CQT=∠DQT;
∴直线CQ和直线DQ关于直线QT 对称.
∴易得直线DQ对应的函数解析式为y=$\frac{5}{2}$(x−$\frac{3}{2}$)−$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{2}$x−$\frac{9}{2}$.
联立{y=$\frac{5}{2}$x−$\frac{9}{2}$,y=x²−4x+3,解得{x=$\frac{3}{2}$,y=−$\frac{3}{4}$或{x=5,y=8.
∴D(5,8).
由点B,D的坐标，易得BD²=68.
设E(0,m),则易得DE²=25+(m - 8)²,BE²=9+m².
当DE=BD时,25+(m−8)²=68,解得m=8±$\sqrt{43}$;
当DE=BE时,25+(m−8)²=9+m²,解得m=5;
当BE=BD时,9+m²=68,解得m=±$\sqrt{59}$.
∴点E的坐标为(0,5)或(0,8±$\sqrt{43}$)或(0,±$\sqrt{59}$).

2. (2024·遂宁)已知二次函数$y= ax^2+bx+c(a\neq0)的图象与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0)$,与$y轴交于点C(0,-3)$,$P,Q$为图象上的两点.
(1)求二次函数的解析式.
(2)当$P,C$两点关于图象的对称轴对称,$\triangle OPQ是以P$为直角顶点的直角三角形时,求点$Q$的坐标.
(3)设点$P的横坐标为m$,点$Q的横坐标为m+1$,试探究$\triangle OPQ的面积S$是否存在最小值.若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

答案： 2.
(1)由题意,得{a - b + c = 0,9a + 3b + c = 0,c = - 3,解得{a = 1,b = - 2,c = - 3.
∴二次函数的解析式为y=x²−2x−3.
(2)
∵抛物线的对称轴为直线x=−$\frac{-2}{2}$=1,点P,C关于抛物线的对称轴对称,
∴P(2,−3).
设Q(n,n²−2n−3).
由题意,得∠OPQ=90°.
∴OP²+PQ²=OQ².
∴[(0−2)²+(0+3)²]+[(2−n)²+(−3−n²+2n+3)²]=(0−n)²+(0−n²+2n+3)².
整理,得3n²−8n+4=0,解得n₁=$\frac{2}{3}$,n₂=2(不合题意，舍去).
∴n=$\frac{2}{3}$.
∴n²−2n−3=−$\frac{35}{9}$.
∴点Q的坐标为($\frac{2}{3}$,−$\frac{35}{9}$).
(3)存在.
由题意,可知P(m,m²−2m−3).
当x=m + 1时,y=(m + 1)²−2(m + 1)−3=m²−4.
∴Q(m + 1,m²−4).
设直线PQ交x轴于点H.
由点P,Q的坐标，易得直线PQ对应的函数解析式为y=(2m−1)(x−m)+m²−2m−3.
令y=0,则x=$\frac{m²−2m−3}{1−2m}$+m.
∴OH=|$\frac{m²−2m−3}{1−2m}$+m|.
∴S=$\frac{1}{2}$OH·|y_Q - y_P|=$\frac{1}{2}$×|$\frac{m²−2m−3}{1−2m}$+m|·|m²−4−m²+2m+3|=$\frac{1}{2}$×|$\frac{-m²−m−3}{1−2m}$|·|2m−1|=$\frac{1}{2}$|m²+m+3|=$\frac{1}{2}$(m + $\frac{1}{2}$)²+$\frac{11}{8}$≥$\frac{11}{8}$.
∴S存在最小值,为$\frac{11}{8}$.