《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

12. 已知关于x的一元二次方程$mx^2 + 2(m + 1)x + m - 1 = 0$有两个不等的实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)若该方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且$x_1^2 + x_2^2 = 8$,求m的值.

答案：
(1)由题意,知$[2(m+1)]^{2}-4× m(m-1)＞0$,解得$m＞-\frac{1}{3}$.$\because m\neq 0$,$\therefore m$的取值范围是$m＞-\frac{1}{3}$且$m\neq 0$.
(2)$\because$ 该方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{2m+2}{m}$,$x_{1}x_{2}=\frac{m-1}{m}$.$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8$,即$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=8$,$\therefore (-\frac{2m+2}{m})^{2}-2× \frac{m-1}{m}=8$,解得$m_{1}=2$,$m_{2}=-\frac{1}{3}$.经检验,$m_{1}=2$,$m_{2}=-\frac{1}{3}$是原方程的解.$\because m＞-\frac{1}{3}$且$m\neq 0$,$\therefore m=2$.

13. 已知关于x的一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$.
(1)求证:方程有两个不等的实数根.
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,且∠BAC = 90°,BC = 5,求k的值.

答案：
(1)$\because \Delta=[-(2k+1)]^{2}-4(k^{2}+k)=4k^{2}+4k+1-4k^{2}-4k=1＞0$,$\therefore$ 方程有两个不等的实数根.
(2)$\because \triangle ABC$的两边$AB,AC$的长是这个方程的两个实数根,$\therefore AB+AC=2k+1$,$AB\cdot AC=k^{2}+k$.$\because \angle BAC=90^{\circ}$,$BC=5$,$\therefore AB^{2}+AC^{2}=5^{2}$,即$(AB+AC)^{2}-2AB\cdot AC=25$.$\therefore (2k+1)^{2}-2(k^{2}+k)=25$,解得$k_{1}=-4$,$k_{2}=3$.当$k=-4$时,$AB+AC=2× (-4)+1=-7$,不合题意,舍去;当$k=3$时,$AB+AC=2× 3+1=7$.$\therefore k$的值为 3.

14. 如图,在矩形ABCD中,设AB = a,AD = b,且a ＞ b.
(1)若a,b为方程$x^2 - kx + k + 4 = 0$的两个根,且a,b满足$a^2 + b^2 = 40$,求k的值.
(2)在(1)的条件下,P为CD上一点(与C,D两点不重合),当点P在什么位置时,△APB为直角三角形?
(3)P为CD上一动点(与C,D两点不重合),当a,b满足什么条件时,使△APB为直角三角形的点P有且只有一个?

答案讲解

答案：
(1)$\because a,b$为方程$x^{2}-kx+k+4=0$的两个根,$\therefore a+b=k＞0$,$ab=k+4$.$\because a^{2}+b^{2}=40$,$\therefore (a+b)^{2}-2ab=40$,即$k^{2}-2(k+4)=40$,解得$k=8$或$k=-6$(不合题意,舍去).$\therefore k=8$.
(2)当$k=8$时,$x^{2}-8x+12=0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=6$.$\because a＞b$,$\therefore a=6$,$b=2$.$\because$ 易知$\angle APB=90^{\circ}$,$\therefore AP^{2}+BP^{2}=AB^{2}$.设$DP=m$.$\therefore 4+m^{2}+4+(6-m)^{2}=36$,解得$m_{1}=3+\sqrt{5}$,$m_{2}=3-\sqrt{5}$.$\therefore DP=3\pm \sqrt{5}$.$\therefore$ 当点$P$与点$D$相距$3+\sqrt{5}$或$3-\sqrt{5}$时,$\triangle APB$为直角三角形.
(3)同
(2),可列方程为$b^{2}+m^{2}+(a-m)^{2}+b^{2}=a^{2}$,即$m^{2}-am+b^{2}=0$.当$\Delta=(-a)^{2}-4b^{2}=0$时,点$P$有且只有一个,此时$a^{2}=4b^{2}$.$\because a＞b＞0$,$\therefore a=2b$.$\therefore$ 当$a=2b$时,使$\triangle APB$为直角三角形的点$P$有且只有一个.