《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 如图,二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象经过点A(0,6),B(3,3),C(4,6).
(1)求此二次函数的解析式.
(2)观察函数图象,当$y＞6$时,直接写出x的取值范围.

答案：
(1)把A(0,6),B(3,3),C(4,6)分别代入y=ax²+bx+c，得{c=6,9a+3b+c=3,16a+4b+c=6,解得{a=1,b=-4,c=6.
∴此二次函数的解析式为y=x²-4x+6.
(2)当y＞6时，x的取值范围是x＜0或x＞4.

2. 如图,四边形ABCD是平行四边形,过点A,C,D作抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$,点A,B,D的坐标分别为(-2,0),(3,0),(0,4),求抛物线对应的函数解析式.

答案：
∵点A,B,D的坐标分别为(-2,0),(3,0),(0,4)，且四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5.
∴点C的坐标为(5,4).
∵抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)过点A,C,D，
∴{4a-2b+c=0,25a+5b+c=4,c=4,解得{a=-$\frac{2}{7}$,b=$\frac{10}{7}$,c=4.
∴抛物线对应的函数解析式为y=-$\frac{2}{7}$x²+$\frac{10}{7}$x+4.

3. 已知二次函数$y= mx^{2}-2mx+3$,其中$m≠0$.
(1)若二次函数的图象经过点(-1,6),求二次函数的解析式.
(2)若该二次函数的图象开口向上,当$-1≤x≤2$时,图象的最高点为M,最低点为N,点M的纵坐标为6,求点M,N的坐标.
(3)在二次函数的图象上任取两点$(x_{1},y_{1})$,$(x_{2},y_{2})$,当$a≤x_{1}＜x_{2}≤a+2$时,总有$y_{1}＞y_{2}$,求a的取值范围.

答案：
(1)把(-1,6)代入y=mx²-2mx+3，得m+2m+3=6，解得m=1.
∴二次函数的解析式为y=x²-2x+3.
(2)
∵二次函数的图象开口向上，
∴m＞0.
∵y=mx²-2mx+3=m(x-1)²+3-m，
∴抛物线的顶点为(1,3-m).
∴当x＜1时y随x的增大而减小；当x≥1时，y随x的增大而增大.
∴最低点为N(1,3-m).
∵当x=-1时，y=3m+3，当x=2时，y=3，且m＞0，
∴3m+3＞3.
∴最高点为M(-1,3m+3).
∴3m+3=6，解得m=1.
∴M(-1,6),N(1,2).
(3)①若m＞0，则当x≤1时，y随x的增大而减小；当x≥1时，y随x的增大而增大.
又
∵当a≤x₁＜x₂≤a+2时，总有y₁＞y₂，
∴a+2≤1.
∴a≤-1.
②若m＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小.
又
∵当a≤x₁＜x₂≤a+2时，总有y₁＞y₂，
∴a≥1.
综上所述，当m＞0时，a≤-1；当m＜0时，a≥1.

4. 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$过点A(-1,0),且它的顶点P的坐标为(1,-4).
(1)求该抛物线对应的函数解析式.
(2)若直线$y= -2x+1$与该抛物线相交于点C,D,点C在点D的左侧,求△PCD的面积.

答案：
(1)设抛物线对应的函数解析式为y=a(x-1)²-4.
∵点A(-1,0)在抛物线上，
∴0=a×(-1-1)²-4.
∴a=1.
∴y=(x-1)²-4=x²-2x-3.
∴抛物线对应的函数解析式为y=x²-2x-3.
(2)联立{y=x²-2x-3,y=-2x+1,解得{x=-2,y=5或{x=2,y=-3.
∴C(-2,5),D(2,-3).
如图，过点P作PH//y轴，交直线CD于点H，则点H的坐标为(1,-1).
∵S△PCD=S△PCH+S△PDH，PH=-1-(-4)=3，
∴S△PCD=$\frac{1}{2}$PH·(xD-xC)=$\frac{1}{2}$×3×[2-(-2)]=6.