《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

$(1)$分解因式：x²+6x+8= (x+2)·(x+4).　　
$(2)$请用上述方法解方程：$x^{2}-3x-4= 0.$　　$\because x^{2}-3x-4=x^{2}+(-4+1)x+(-4)×1=0$，$\therefore (x-4)(x+1)=0$，则$x+1=0$或$x-4=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=4$.

答案： （1）2；4.（2）$\because x^{2}-3x-4=x^{2}+(-4+1)x+(-4)×1=0$，$\therefore (x-4)(x+1)=0$，则$x+1=0$或$x-4=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=4$.

13. 如果关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大2,那么称这样的方程为“好根方程”. 如一元二次方程$x^{2}+2x= 0的两个根是x_{1}= 0,x_{2}= -2$,则方程$x^{2}+2x= 0$是“好根方程”.
(1)请通过计算判断方程$4x^{2}-4\sqrt{5}x+1= 0$是否为“好根方程”.
(2)已知关于$x的方程x^{2}-mx-m-1= 0$($m$是常数)是“好根方程”,求$m$的值.

答案： （1）$\because \Delta=(-4\sqrt{5})^{2}-4×4=64＞0$，$\therefore x=\frac{4\sqrt{5}\pm8}{2×4}=\frac{\sqrt{5}\pm2}{2}$.$\therefore x_{1}=\frac{\sqrt{5}+2}{2}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{5}-2}{2}$.$\because x_{1}-x_{2}=2$，$\therefore$方程$4x^{2}-4\sqrt{5}x+1=0$是“好根方程”.（2）$\because [x-(m+1)](x+1)=0$，$\therefore x_{1}=m+1$，$x_{2}=-1$.$\because$方程$x^{2}-mx-m-1=0$($m$是常数)是“好根方程”，$\therefore m+1-(-1)=2$或$-1-(m+1)=2$.$\therefore m=0$或$m=-4$.

14. 已知直角三角形的三边长为$a,b,c$,且两直角边长$a,b满足等式(a^{2}+b^{2})^{2}-3(a^{2}+b^{2})-28= 0$,则答案讲解 斜边长$c$的值为$\sqrt{7}$.

答案： $\sqrt{7}$ 解析：将等式$(a^{2}+b^{2})^{2}-3(a^{2}+b^{2})-28=0$转化为$(a^{2}+b^{2}+4)(a^{2}+b^{2}-7)=0$，解得$a^{2}+b^{2}=-4$(不合题意，舍去)或$a^{2}+b^{2}=7$.由勾股定理，知$c^{2}=a^{2}+b^{2}=7$，$\therefore$斜边长$c=\sqrt{7}$.

15. 阅读下面的材料：
对于$x^{2}+bx+c= 0$,将等式左边进行因式分解,得到以下形式：$x^{2}+bx+c= (x-m)(x-n)$(从这里可以看出方程的解为$x_{1}= m,x_{2}= n$),即$x^{2}+bx+c= x^{2}-(m+n)x+mn$. $\because m+n= -b$,$\therefore m,n的平均数为-\frac{b}{2}$. 不妨设$m= -\frac{b}{2}+p$,$n= -\frac{b}{2}-p$,利用$x_{1}x_{2}= mn$,得$(-\frac{b}{2}+p)(-\frac{b}{2}-p)= c$,$\therefore (-\frac{b}{2})^{2}-p^{2}= c$,即可求出$p$的值.
举例如下：解一元二次方程$x^{2}-2x-4= 0$.
$\because -\frac{b}{2}= 1$,$\therefore设方程的两个根分别为1+p,1-p$. $\because 1^{2}-p^{2}= -4$,$\therefore p= \pm\sqrt{5}$. $\therefore方程的解为x_{1}= 1+\sqrt{5},x_{2}= 1-\sqrt{5}$.
请运用以上方法解方程：
(1)$x^{2}-2\sqrt{3}x-4= 0$.
(2)$3x^{2}-\sqrt{11}x+\frac{1}{2}= 0$.

答案： （1）$\because -\frac{b}{2}=\sqrt{3}$，$\therefore$设方程的两个根分别为$\sqrt{3}+p$，$\sqrt{3}-p$.$\because (\sqrt{3})^{2}-p^{2}=-4$，$\therefore p=\pm\sqrt{7}$.$\therefore$方程的解为$x_{1}=\sqrt{3}+\sqrt{7}$，$x_{2}=\sqrt{3}-\sqrt{7}$.（2）原方程两边同时除以3，得$x^{2}-\frac{\sqrt{11}}{3}x+\frac{1}{6}=0$.$\because -\frac{b}{2}=\frac{\sqrt{11}}{6}$，$\therefore$设方程的两个根分别为$\frac{\sqrt{11}}{6}+p$，$\frac{\sqrt{11}}{6}-p$.$\because (\frac{\sqrt{11}}{6})^{2}-p^{2}=\frac{1}{6}$，$\therefore p=\pm\frac{\sqrt{5}}{6}$.$\therefore$方程的解为$x_{1}=\frac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{6}$，$x_{2}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{5}}{6}$.