《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 新考向·数学文化 (2024·深圳)下列用七巧板拼成的图案中,是中心对称图形的为(C)
A.
B.
C.
D.

答案： 【解析】：
本题考查中心对称图形的定义：
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转$180° $，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
可以根据中心对称图形的定义，逐项分析如下：
选项A：
图案绕着某个点旋转$180° $后，不能与原来的图形重合，所以不是中心对称图形。
选项B：
图案绕着某个点旋转$180° $后，不能与原来的图形重合，所以不是中心对称图形。
选项C：
图案绕着其中心旋转$180° $后，能与原来的图形重合，所以是中心对称图形。
选项D：
图案绕着某个点旋转$180° $后，不能与原来的图形重合，所以不是中心对称图形。
【答案】：C。

2. (2024·长沙)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的为(B)
A.
B.
C.
D.

答案： 【解析】：本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义及其判断。
轴对称图形是指图形沿一条直线对折后，两部分能够完全重合；
中心对称图形是指图形绕某一点旋转$180^\circ$后，能够与自身重合。
A选项：正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误。
B选项：圆内接正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B正确。
C选项：五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误。
D选项：该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故D错误。
【答案】：B

3. 有下列图形：①平行四边形；②菱形；③等边三角形；④正方形.其中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的为②④(填序号).

答案： 【解析】：
题目考查了轴对称图形和中心对称图形的概念。
轴对称图形是指图形关于某条直线（轴）对称，即图形上的每一点关于这条轴都有一个对称点，且这些对称点与原图形上的点一一对应。
中心对称图形是指图形关于某一点（中心）对称，即图形上的每一点关于这个中心都有一个对称点，且这些对称点与原图形上的点一一对应。
接下来，我们逐一分析每个图形：
①平行四边形：只是中心对称图形，不是轴对称图形（特殊的平行四边形如矩形、菱形、正方形除外，但此处指的是一般的平行四边形）。
②菱形：既是轴对称图形（有两条对称轴，分别是两条对角线），又是中心对称图形（中心为两条对角线的交点）。
③等边三角形：是轴对称图形（有三条对称轴，分别是三条中线），但不是中心对称图形。
④正方形：既是轴对称图形（有四条对称轴，分别是两条对角线和两条中垂线），又是中心对称图形（中心为两条对角线的交点）。
因此，既是轴对称图形又是中心对称图形的有②菱形和④正方形。
【答案】：
②④

4. 如图①～④所示的图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的为③④(填序号).

答案： 【解析】：
本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义。
轴对称图形是指图形关于某条直线（轴）对称，即图形上的每一点关于这条轴都有对称点。
中心对称图形是指图形关于某一点（中心）对称，即图形上的每一点关于这个中心都有对称点，且这两点到中心的距离相等。
图①既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意。
图②是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意。
图③是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意。
图④是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意。
【答案】：③④

5. 如图,在△ABC中,D是边AB的中点,已知AC= 4,BC= 6.
(1)画出△BDC关于点D的中心对称图形.
(2)根据图形求线段CD长的取值范围.

答案： 【解析】：
(1) 根据中心对称的性质，找到点C关于点D的对称点$C^{\prime}$，从而得到$\bigtriangleup BDC$关于点D的中心对称图形$\bigtriangleup ADC^{\prime}$（或描述为将$\bigtriangleup BDC$绕点D旋转$180^{\circ}$得到$\bigtriangleup ADC^{\prime}$）。由于D是AB的中点，所以$AD = BD$，且旋转后$C^{\prime}D = CD$，$AC^{\prime} = BC$。
(2) 在$\bigtriangleup AC^{\prime}C$中，利用三角形的三边关系来求CD的取值范围。已知$AC = 4$，$AC^{\prime} = BC = 6$，根据三角形的三边关系，有：
$AC^{\prime} - AC ＜ CC^{\prime} ＜ AC + AC^{\prime}$，
即：
$6 - 4 ＜ CC^{\prime} ＜ 6 + 4$，
$2 ＜ CC^{\prime} ＜ 10$，
由于D是$CC^{\prime}$的中点，所以：
$1 ＜ CD ＜ 5$。
【答案】：
(1) 图略（按照中心对称的性质画出$\bigtriangleup ADC^{\prime}$即可）。
(2) $1 ＜ CD ＜ 5$。

6. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AB＝CD,对角线AC与BD交于点O,E是AD的中点,连接OE,△ABD的周长为12 cm,则下列结论中,错误的是( C)
A.OE//AB
B.四边形ABCD是中心对称图形
C.△EOD的周长为3 cm
D.若∠ABC＝90°,则四边形ABCD是轴对称图形

答案： 【解析】：本题可根据平行四边形的判定与性质、中心对称图形和轴对称图形的定义来逐一分析选项。
选项A：判断OE//AB是否成立
已知在四边形ABCD中，AB//CD，AB = CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
因为平行四边形的对角线互相平分，所以O是BD的中点，又因为E是AD的中点，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半，在$\triangle ABD$中，OE是中位线，所以OE//AB，该选项正确。
选项B：判断四边形ABCD是中心对称图形是否成立
由于四边形ABCD是平行四边形，而平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，所以四边形ABCD是中心对称图形，该选项正确。
选项C：判断$\triangle EOD$的周长为3cm是否成立
已知$\triangle ABD$的周长为$12cm$，即$AB + AD + BD = 12cm$。
因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AB = CD$，$AD = BC$，$BD = AC$（平行四边形对边相等，对角线互相平分），且$OD=\frac{1}{2}BD$，$DE=\frac{1}{2}AD$，$OE=\frac{1}{2}AB$。
$\triangle EOD$的周长为$OD + DE + OE=\frac{1}{2}(BD + AD + AB)=\frac{1}{2}×12 = 6cm\neq3cm$，该选项错误。
选项D：判断若$\angle ABC = 90^{\circ}$，则四边形ABCD是轴对称图形是否成立
若$\angle ABC = 90^{\circ}$，因为四边形ABCD是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形ABCD是矩形。
矩形是轴对称图形，有两条对称轴，所以若$\angle ABC = 90^{\circ}$，则四边形ABCD是轴对称图形，该选项正确。
综上，答案选C。
【答案】：C

7. 如图,在菱形ABCD中,AB= 2,∠A= 120°,过菱形ABCD的对称中心O作EG⊥AB于点E,交CD于点G,作FH⊥BC于点F,交AD于点H,则四边形EFGH的周长为(B)
A.$3+\sqrt{3}$
B.$2+2\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$1+\sqrt{3}$

答案： 【解析】：本题可先根据菱形的性质求出相关角度和线段长度，再利用直角三角形的性质求出四边形$EFGH$各边的长度，进而求出其周长。
步骤一：分析菱形的性质
已知四边形$ABCD$是菱形，$\angle A = 120^{\circ}$，根据菱形的性质：菱形的邻角互补，可得$\angle B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$；菱形的对角线互相垂直且平分，$O$是菱形$ABCD$的对称中心，即$O$是$AC$、$BD$的交点，所以$AC\perp BD$，$AO = OC$，$BO = OD$，$AB = BC = CD = DA = 2$。
步骤二：求出$\angle ABO$和$\angle BAO$的度数
因为$AC\perp BD$，$\angle A = 120^{\circ}$，$AB = AD$，所以$\triangle ABD$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，$AC$平分$\angle BAD$，则$\angle BAO = \frac{1}{2}\angle BAD = \frac{1}{2}×120^{\circ} = 60^{\circ}$，那么$\angle ABO = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
步骤三：求出$AO$、$BO$的长度
在$Rt\triangle ABO$中，$\angle ABO = 30^{\circ}$，$AB = 2$，根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$AO = \frac{1}{2}AB = 1$，再根据勾股定理$BO = \sqrt{AB^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$。
步骤四：求出$OE$、$OF$的长度
因为$EG\perp AB$，$FH\perp BC$，$O$是菱形$ABCD$的对称中心，所以$OE = OF$，且$OE$是$Rt\triangle ABO$斜边$AB$上的高。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{\triangle ABO} = \frac{1}{2}AB\cdot OE = \frac{1}{2}AO\cdot BO$，即$\frac{1}{2}×2×OE = \frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$，解得$OE = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$OF = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
步骤五：求出$EH$、$EF$的长度
因为$EG\perp AB$，$FH\perp BC$，$AD// BC$，$AB// CD$，所以四边形$EFGH$是矩形，则$EH = FG$，$EF = HG$。
又因为$O$是$EG$、$FH$的中点，所以$EH = 2OE = \sqrt{3}$，$EF = 2OF\cos30^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2} = 1$（这里$OF$与$BC$夹角为$30^{\circ}$，$EF$为$OF$在水平方向的投影的$2$倍 ）。
步骤六：计算四边形$EFGH$的周长
四边形$EFGH$的周长为$2(EH + EF) = 2(\sqrt{3} + 1)=2 + 2\sqrt{3}$。
【答案】：B