《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

12. 如图,将二次函数$y= -x^{2}+6x - 5$在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新的图象。若直线$y= x + b$(b为常数)与这个图象恰好有3个公共点,则b的值为$\frac{5}{4}$或$-1$。

答案： $\frac{5}{4}$或$-1$ 解析:① 当直线 $y=x+b$与抛物线 $y=-x^{2}+6x-5$只有一个交点时,满足题意.令$-x^{2}+6x-5=x+b$,整理,得$-x^{2}+5x-5-b=0$.$\therefore \Delta=5^{2}-4×(-1)×(-5-b)=0$,解得 $b=\frac{5}{4}$.令$-x^{2}+6x-5=0$,解得 $x_{1}=1,x_{2}=5,\therefore$ 原抛物线与x轴的交点坐标为$(1,0)$,$(5,0)$.② 当直线 $y=x+b$经过点$(1,0)$时,满足题意.将$(1,0)$代入 $y=x+b$,得 $0=1+b$,解得 $b=-1$.综上所述,b的值为$\frac{5}{4}$或$-1$.

13. 已知二次函数的解析式为$y= -x^{2}+2mx - m^{2}+4$。
(1)求证：该二次函数的图象与x轴一定有2个交点。
(2)若$m= 2$,点$M(n,y_{1})$,$N(n + 2,y_{2})$都在该二次函数的图象上,且$y_{1}y_{2}＜0$,求n的取值范围。
(3)当$m - 3≤x≤5$时,函数的最大值与最小值的差为8,求m的值。

答案：
(1) 在 $y=-x^{2}+2mx-m^{2}+4$中,令 $y=0$,则 $-x^{2}+2mx-m^{2}+4=0$.$\because a=-1,b=2m,c=4-m^{2}$,$\therefore \Delta=b^{2}-4ac=4m^{2}-4×(-1)×(4-m^{2})=4m^{2}+16-4m^{2}=16＞0$.$\therefore$ 该二次函数的图象与x轴一定有2个交点.
(2)$\because m=2$,$\therefore y=-x^{2}+4x$.令 $y=0$,则 $-x^{2}+4x=0$,解得 $x_{1}=0,x_{2}=4$.$\therefore$ 抛物线与x轴的交点坐标为$(0,0),(4,0)$.$\because$ 点 $M(n,y_{1}),N(n + 2,y_{2})$都在该二次函数的图象上,且 $y_{1}y_{2}＜0$,$\therefore$ ① $\begin{cases}n＜0,\\n+2＞0,\end{cases}$即$-2＜n＜0$;② $\begin{cases}n＜4,\\n+2＞4,\end{cases}$即$2＜n＜4$.综上所述,n的取值范围是$-2＜n＜0$或$2＜n＜4$.
(3)$\because y=-x^{2}+2mx-m^{2}+4=-(x-m)^{2}+4$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=m$.① 若 $m＜\frac{m-3+5}{2}$,即 $m＜2$,则当 $x=m$时,$y_{最大}=4$;当 $x=5$时,$y_{最小}=-(5-m)^{2}+4$.$\therefore 4-[-(5-m)^{2}+4]=8$.$\therefore m_{1}=5+2\sqrt{2},m_{2}=5-2\sqrt{2}$,都不合题意,舍去.② 若 $2\leqslant m\leqslant5$,则当 $x=m$时,$y_{最大}=4$;当 $x=m-3$时,$y_{最小}=-5$.$\therefore 4-(-5)=9\neq8$,不合题意,舍去.③ 若 $5＜m\leqslant8$,则当 $x=5$时,$y_{最大}=-(5-m)^{2}+4$;当 $x=m-3$时,$y_{最小}=-5$.$\therefore -(5-m)^{2}+4-(-5)=8$.
$\therefore m_{3}=6,m_{4}=4$(不合题意,舍去).综上所述,$m=6$.