《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 如图,在正方形网格中,△EFG绕某一点旋转一定角度得到△RPQ,则旋转中心可能是(C)A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D

答案： C

2. 如图,在等腰三角形ABC中,∠A= 120°,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)得到△DEC. 当点A的对应点D落在BC上时,连接BE,则∠BED的度数是(B)A. 30° B. 45° C. 55° D. 75°

答案： B

3. (2024·滨州)将一副三角尺按如图①所示的方式摆放,把三角尺AOB绕公共顶点O按顺时针方向旋转至如图②所示的位置. 当AB//OD时,∠1的度数为______75°.

答案： 75°

4. (2024·雅安)如图,在△ABC和△ADE中,AB= AC,∠BAC= ∠DAE= 40°. 将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一定角度,当AD//BC时,∠BAE的度数是______30°或150°.

答案： 30°或150°

5. 如图,E为正方形ABCD外一点,∠AEB= 90°,将△ABE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于点H. (1)试判定四边形AFHE的形状,并说明理由. (2)已知BH= 7,DH= 17,求BC的长.

答案： （1）四边形AFHE是正方形.
理由：由旋转，得∠AEB=∠AFD=90°，∠EAF=90°.
∴∠AFH=180° - ∠AFD=90°.
∴四边形AFHE是矩形.
由旋转，得AE=AF.
∴四边形AFHE是正方形.
（2）连接BD.
∵四边形AFHE是正方形，
∴∠EHF=90°.
∴∠DHB=180° - ∠EHF=90°.
∵BH=7，DH=17，
∴BD = √(DH² + BH²)= √(17² + 7²)= 13√2.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC = CD，∠C = 90°.
∴易得BC = (√2/2)BD = 13.

6. 如图,D为等边三角形ABC内一点,且DA= 4,DB= 3,DC= 5,则等边三角形ABC的面积为(A)A. $\frac{25\sqrt{3}}{4}+9$ B. $\frac{41\sqrt{3}}{4}+5$ C. $\frac{31\sqrt{3}}{4}+6$ D. $\frac{37\sqrt{3}}{4}$

答案： A 解析：如图，将△ABD绕点B顺时针旋转60°得△CBE，连接DE，过点C作CF⊥BE，交BE的延长线于点F.由旋转的性质，可知BD = BE = 3，∠DBE = 60°，AD = CE = 4.
∴△BDE是等边三角形.
∴∠BED = 60°，DE = BD = 3.在△CDE中，DE = 3，CE = 4，CD = 5，
∴DE² + CE² = CD².
∴∠DEC = 90°.
∴∠BEC = ∠BED + ∠DEC = 150°.
∴∠CEF = 30°.
∵∠F = 90°，
∴CF = (1/2)CE = 2.
∴EF = √(CE² - CF²)= 2√3.在Rt△BCF中，BC² = CF² + BF² = 2²+(3 + 2√3)² = 25 + 12√3.
∴易得等边三角形ABC的面积为(√3/4)BC² = (√3/4)×(25 + 12√3) = (25√3)/4 + 9.