《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

8. 如图,在平面直角坐标系中,对△ABC 进行循环往复的轴对称变换. 若原来点 A 的坐标是 $ (a,b) $,则经过第 2026 次变换后所得点 A 的坐标是 (A)
A.$ (a,-b) $
B.$ (-a,-b) $
C.$ (-a,b) $
D.$ (a,b) $

答案： A

9. 已知点 $ P(2x,y^2+4) $ 与点 $ Q(x^2+1,-4y) $ 关于原点对称,则 $ x+y $ 的值为1.

答案： 1

10. 在平面直角坐标系中,直线 $ y= -2x+3 $ 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,则直线 AB 关于原点对称的直线对应的函数解析式为y=-2x-3.

答案： y=-2x-3 解析：
∵y=-2x+3,
∴当y=0时，-2x+3=0,解得$x=\frac{3}{2}$;当x=0时，y=3.
∴点A的坐标为$(\frac{3}{2},0)$，点B的坐标为(0,3).
∴点A关于原点的对称点A'的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$，点B关于原点对称的点B'的坐标为(0,-3).
∴易得直线y=-2x+3关于原点对称的直线对应的函数解析式为y=-2x-3.

11. 如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为 $ A(1,1) $, $ B(4,2) $, $ C(3,4) $.

(1)在图中画出△ABC 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90°后的△A_1B_1C_1.
(2)画出△ABC 关于原点对称的△A_2B_2C_2.
(3)在 x 轴上作一点 P,使△PAB 的周长最小,请画出△PAB,并直接写出点 P 的坐标.

答案：

(1)如图，△A₁B₁C₁即为所求作.
(2)如图，△A₂B₂C₂即为所求作.
(3)如图，△PAB即为所求作，点P的坐标为(2,0).

12. *如图,在平面直角坐标系中,有一点 $ A(2,3) $ 和直线 $ y= x $. 答案讲解

(1)分别写出点 A 关于直线 $ y= x $ 对称的点 B 和关于原点对称的点 C 的坐标.
(2)在(1)的条件下,若 D 是点 B 关于原点对称的点,试判断四边形 ABCD 的形状,并说明理由.

答案：
(1)
∵点A的坐标为(2,3)，
∴易得点A关于直线y=x对称的点B和关于原点对称的点C的坐标分别为(3,2)和(-2,-3).
(2)四边形ABCD是矩形.
理由：连接AB，BC，CD，DA，OA，OB，OC，OD.
∵点B，D关于原点对称，
∴点B，D，O在同一直线上，$BO = DO = \frac{1}{2}BD$.
同理，可得点A，C，O在同一直线上，$AO = CO = \frac{1}{2}AC$.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵点A与点B关于直线y=x对称，
∴直线y=x垂直平分线段AB.
∴OA=OB.
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.