《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

4. 已知二次函数$y= ax^2 + bx的图象经过点(-2,1)$,则函数$y= a(x - 1)^2 + b(x - 1) - 2$的图象经过的定点坐标为(-1,-1),(1,-2)。

答案： (-1,-1),(1,-2)

5. 已知二次函数$y= a(x - 2)^2 + a$($a ＜ 0$),当$-1 ≤ x ≤ 4$时,$y的最小值为-10$,则$a$的值为-1。

答案： -1

6. 已知$a + b + c = 0$($a≠0$),关于$x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 1的一个根为x= 3$,且二次函数$y= ax^2 + bx + c图象的对称轴是直线x= 3$,则此二次函数的解析式为______y=-1/4x²+3/2x-5/4。

答案： y=-1/4x²+3/2x-5/4

7. (2024·牡丹江改编)如图,二次函数$y= \frac{1}{2}x^2 + bx + c的图象与x轴交于A$,$B$两点,与$y轴交于点C$,点$A的坐标为(-1,0)$,点$C的坐标为(0,-3)$,连接$BC$。

(1)二次函数的解析式为______y=1/2x²-5/2x-3。
(2)$P$是二次函数在第四象限内的图象上的任意一点。当$\triangle BCP$的面积最大时,边$BC上的高PN$为______9√5/5。

答案：
(1)y=1/2x²-5/2x-3
(2)9√5/5

8. 已知抛物线$L_1:y= ax^2 + bx + 4$与x轴交于A(-4,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C。

(1)此抛物线对应的函数解析式为______。
(2)如图①,点D在第二象限的抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,是否存在这样的D,E两点使得四边形BCDE为矩形？若存在,求D,E两点的坐标；若不存在,请说明理由。 (3)如图②,平移抛物线$L_1,$使新抛物线$L_2$的顶点P在AC的延长线上,过点P作PQ⊥x轴于点Q,过原抛物线的顶点M作MN⊥x轴,交新抛物线于点N。若MN = PQ,求点P的坐标。
(1)y=-1/2x²-x+4
(2)存在D,E两点使四边形BCDE为矩形，D(-3,5/2)，E(-1,-3/2)
(3)P(1+√7,5+√7)

答案：
(1)y=-1/2x²-x+4.
(2)存在.
∵y=-1/2x²-x+4=-1/2(x+1)²+9/2,
∴对称轴为直线x=-1,当x=0时,y=4.
∴C(0,4).
∵点D在第二象限的抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,
∴设D(m,-1/2m²-m+4),E(-1,n).连接BD,CE.当四边形BCDE为矩形时,BD²=CE²,{x_C+x_E=x_D+x_B,y_C+y_E=y_D+y_B.
∴{0+(-1)=m+2,4+n=-1/2m²-m+4+0,解得{m=-3,n=-3/2.
∴D(-3,5/2),E(-1,-3/2).
∴CE²=[0-(-1)]²+[4-(-3/2)]²=125/4,BD²=[2-(-3)]²+(0-5/2)²=125/4.
∴CE²=BD².
∴存在D,E两点使四边形BCDE为矩形,符合题意.
∴D(-3,5/2),E(-1,-3/2).
(3)由
(2),得顶点坐标为M(-1,9/2).
∵A(-4,0),C(0,4),
∴设AC所在直线对应的函数解析式为y=kx+t.
∴{-4k+t=0,t=4,解得{k=1,t=4.
∴AC所在直线对应的函数解析式为y=x+4.
∵平移抛物线L₁,使新抛物线L₂的顶点P在AC的延长线上,
∴设新抛物线L₂的顶点P的坐标为(h,h+4).
∴新抛物线L₂对应的函数解析式为y=-1/2(x-h)²+h+4.将x=-1代入y=-1/2(x-h)²+h+4,得y=-1/2h²+7/2.
∴N(-1,-1/2h²+7/2).
∵MN=PQ,
∴9/2-(-1/2h²+7/2)=h+4,解得h=1+√7或h=1-√7.
∵新抛物线L₂的顶点P在AC的延长线上,
∴h＞0.
∴h=1+√7.
∴P(1+√7,5+√7).