《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 已知关于x的一元二次方程$x^2 - 6x + 7 = 0的两个实数根分别为x_1,x_2$,则$x_1x_2 - x_1 - x_2$的值为(B)
A.-1
B.1
C.12
D.2

答案： B

2. 已知m,n是方程$x^2 - 3x - 4 = 0$的两个根,则$(m - 1)(n - 1)$的值是(D)
A.8
B.-7
C.0
D.-6

答案： D

3. 已知关于x的一元二次方程$x^2 - 2x - a = 0的两个根分别为x_1,x_2$.若$x_1 = -1$,则$a - x_1^2 - x_2^2$的值为(B)
A.7
B.-7
C.6
D.-6

答案： B

4. (2024·眉山)已知方程$x^2 + x - 2 = 0的两根分别为x_1,x_2$,则$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$的值为$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

5. 解一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$时,小明看错了一次项系数b,得到的解为$x_1 = 2,x_2 = 3$;小刚看错了常数项c,得到的解为$x_1 = 1,x_2 = 5$.正确的一元二次方程为$x^{2}-6x+6=0$.

答案： $x^{2}-6x+6=0$

6. 已知关于x的一元二次方程$mx^2 - x + m = 0(m \neq 0)的两个根为x_1,x_2$.
(1)设$y = \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2}$,用含m的代数式表示y.
(2)当$y = 6$时,求此时方程的根.

答案： （1）根据根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=\frac{1}{m},x_{1}x_{2}=1,$$\therefore y=\frac{3(x_{1}+x_{2})}{x_{1}x_{2}}=\frac{3×\frac{1}{m}}{1}=\frac{3}{m}.$（2）当$y=6$时，$\frac{3}{m}=6.$$\therefore m=\frac{1}{2}$，此时方程为$\frac{1}{2}x^{2}-x+\frac{1}{2}=0.$整理，得$x^{2}-2x+1=0$，解得$x_{1}=x_{2}=1.$

7. 若$x_1 + x_2 = 3,x_1^2 + x_2^2 = 5$,则以$x_1,x_2$为根的一元二次方程是(A)
A.$x^2 - 3x + 2 = 0$
B.$x^2 + 3x - 2 = 0$
C.$x^2 + 3x + 2 = 0$
D.$x^2 - 3x - 2 = 0$

答案： A

8. 设a,b是方程$x^2 + x - 2023 = 0$的两个实数根,则$a^2 + 2a + b$的值为(D)
A.2024
B.2021
C.2023
D.2022

答案： D

9. 已知$2m^2 - 5m - 1 = 0,\frac{1}{n^2} + \frac{5}{n} - 2 = 0$,且$m \neq n$,则$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$的值为(D)
A.$\frac{5}{4}$
B.$-\frac{5}{4}$
C.5
D.-5

答案： D 解析：$\because \frac{1}{n^{2}}+\frac{5}{n}-2=0,$$\therefore 2n^{2}-5n-1=0.\because 2m^{2}-5m-1=0,m≠n,\therefore m,n$是一元二次方程$2x^{2}-5x-1=0$的两个根.$\therefore m+n=\frac{5}{2},mn=-\frac{1}{2}.\therefore \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{n+m}{mn}=\frac{\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}}=-5.$

10. 若关于x的一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0的两个实数根分别为x_1,x_2$,且$x_1 + 3x_2 = 5$,则m的值为$\frac{7}{4}$.

答案： $\frac{7}{4}$ 解析：$\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+m=0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2},\therefore x_{1}+x_{2}=4.\because x_{1}+3x_{2}=5,\therefore x_{1}+3x_{2}=x_{1}+x_{2}+2x_{2}=4+2x_{2}=5.\therefore x_{2}=\frac{1}{2}$.把$x_{2}=\frac{1}{2}$代入$x^{2}-4x+m=0$，得$(\frac{1}{2})^{2}-4×\frac{1}{2}+m=0$，解得$m=\frac{7}{4}.$

11. 已知a,b满足$a^2 + 2a - 1 = 0,b^2 + 2b - 1 = 0$,且$a \neq b$,则$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = $-6.

答案： -6 解析：$\because a,b$满足$a^{2}+2a-1=0,b^{2}+2b-1=0$，且$a≠b,$$\therefore a,b$是方程$x^{2}+2x-1=0$的两个根.$\therefore a+b=-2,ab=-1.\therefore a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=4+2=6.$$\therefore \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\frac{6}{-1}=-6.$

12. 若关于x的方程$m^2x^2 + (2m + 3)x + 1 = 0$有两个乘积为1的实数根,方程$x^2 + (2a + m)x + 1 - m^2 = 0$有一个大于0且小于4的实数根,则a的整数值是-2,-1.

答案： -2,-1 解析：$\because$关于$x$的方程$m^{2}x^{2}+(2m+3)x+1=0$有两个乘积为1的实数根，$\therefore \frac{1}{m^{2}}=1$，解得$m=\pm 1.\because$方程有两个实数根，$\therefore \Delta=(2m+3)^{2}-4m^{2}\geq0$，即$m\geq-\frac{3}{4}.\therefore m=1.\therefore$方程$x^{2}+(2a+m)x+1-m^{2}=0$就是$x^{2}+(2a+1)x=0$，即$x(x+2a+1)=0$，解得$x_{1}=0,x_{2}=-2a-1.\because$方程$x^{2}+(2a+m)x+1-m^{2}=0$有一个大于0且小于4的实数根，$\therefore 0＜-2a-1＜4$，解得$-\frac{5}{2}＜a＜-\frac{1}{2}.\therefore a$的整数值是-2,-1.

13. 已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$.
(1)求证:无论m取任何实数,此方程总有两个不等的实数根.
(2)设该方程的两个实数根为$x_1,x_2$.若$x_1^2 + x_2^2 + m(x_1 + x_2) = m^2 + 1$,求m的值.

答案：
(1)$\because \Delta=m^{2}-4(m-2)=m^{2}-4m+8=(m-2)^{2}+4＞0,$$\therefore$无论$m$取任何实数，此方程总有两个不等的实数根.（2）由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=-m,x_{1}x_{2}=m-2.$$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+m(x_{1}+x_{2})=m^{2}+1,$$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+m(x_{1}+x_{2})=m^{2}+1.$$\therefore m^{2}-2(m-2)-m^{2}=m^{2}+1.$整理，得$m^{2}+2m-3=0$，解得$m=-3$或$m=1.$