《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 如图所示为一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水位在l时,水面宽为4 m,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m. 当水面宽为3 m时,水位上升了(B)
A.0.675 m
B.0.875 m
C.0.975 m
D.1.25 m

答案： B

2. (2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是$\frac{7}{4}$m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m. 若实心球落地点为M,则OM= $\frac{35}{3}$m.

答案： $\frac{35}{3}$

3. (2023·温州)一次足球训练中,小明从球门正前方8 m的点A处射门,足球射向球门的路线呈抛物线形. 当足球飞行的水平距离为6 m时,足球到达最高点,此时足球离地面3 m. 已知球门的高度OB为2.44 m,现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线对应的函数解析式,并通过计算判断足球能否射进球门(忽略其他因素).
(2)对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时小明应该带足球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O的正上方2.25 m处？

答案： （1）$\because 8-6=2(m)$，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(2,3)$.
设抛物线对应的函数解析式为$y= a(x-2)^{2}+3$.
把$A(8,0)$代入，得$36a+3=0$，解得$a=-\frac{1}{12}$.
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y= -\frac{1}{12}(x-2)^{2}+3$.
当$x=0$时，$y=-\frac{1}{12}×4+3=\frac{8}{3}$.
$\because \frac{8}{3}＞2.44$，
$\therefore$ 足球不能射进球门.
（2）设小明带足球向正后方移动$n\ m$，则移动后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-n)^{2}+3$.
把$(0,2.25)$代入，得$2.25=-\frac{1}{12}(0-2-n)^{2}+3$，解得$n=-5$（不合题意，舍去）或$n=1$.
$\therefore$ 当时小明应该带足球向正后方移动$1\ m$射门，才能让足球经过点$O$的正上方$2.25\ m$处.

4. 如图所示为一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,拱桥最高点C到AB的距离为8 m,AB= 24 m,D,E为拱桥底部的两点,且DE//AB. 若点E到直线AB的距离为10 m,则DE的长为36m.

答案： 36

5. 如图,排球场的长度OD为18米,位于球场中线处的球网AB的高度为2.4米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方1.6米的点C处向正前方飞出,排球经过的路线是抛物线的一部分,当排球飞行至离点O的水平距离OE为6米处时,到达最高点G,建立平面直角坐标系.
(1)当排球上升的最大高度为3.4米时,对方距离球网0.4米的点F处有一队员,他起跳后的最大高度为3.1米. 这位队员是否可以拦网成功？
(2)若队员发球既要过球网,又不出边界,则排球飞行的最大高度h(米)的取值范围是多少(排球压线属于没出界)？

答案： （1）可以.
根据题意，知此时抛物线的顶点$G$的坐标为$(6,3.4)$.
设抛物线对应的函数解析式为$y= a(x-6)^{2}+3.4$.
将$C(0,1.6)$代入，得$36a+3.4= 1.6$，解得$a=-\frac{1}{20}$.
$\therefore y=-\frac{1}{20}(x-6)^{2}+3.4$.
当$x=\frac{18}{2}=9$时，$y=-\frac{1}{20}×(9- 6)^{2}+3.4=2.95＞2.4$，
$\therefore$ 球可过网.
当$x=\frac{18}{2}+0.4=9.4$时，$y=-\frac{1}{20}× (9.4-6)^{2}+3.4=2.822＜3.1$.
$\therefore$ 这位队员可以拦网成功.
（2）设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-6)^{2}+h$.
将$C(0,1.6)$代入，得$36a+h=1.6$，即$a=\frac{1.6-h}{36}$.
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y= \frac{1.6-h}{36}(x-6)^{2}+h$.
根据题意，得$\begin{cases} \frac{9(1.6-h)}{36}+h＞2.4, \\ \frac{144(1.6-h)}{36}+h\leqslant0, \end{cases}$
解得$h＞\frac{8}{3}$.
$\therefore$ 排球飞行的最大高度$h$（米）的取值范围是$h＞\frac{8}{3}$.