《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

14. 如果$m是方程x^2-2x-1= 0$的根,那么$m^2+\frac{1}{m^2}= $6. 答案讲解

答案： 6 解析:
∵m是方程$x^{2}-2x-1=0$的根,
∴$m^{2}-2m-1=0$,即$m^{2}-1=2m$.
∴$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}=(m-\frac{1}{m})^{2}+2=(\frac{m^{2}-1}{m})^{2}+2=2^{2}+2=6$.

15. 已知实数$a是方程x^2+4x+1= 0$的根. 求：
(1)$2a^2+8a+101$的值.
(2)$1-a-\frac{1}{a}$的值.

答案：
(1)
∵实数a是方程$x^{2}+4x+1=0$的根,
∴$a^{2}+4a+1=0$.
∴$2a^{2}+8a+2=0$,即$2a^{2}+8a=-2$.
∴$2a^{2}+8a+101=99$.
(2)$1-a-\frac{1}{a}=1-\frac{a^{2}+1}{a}$.
∵$a^{2}+4a+1=0$,
∴$a^{2}+1=-4a$.
∴$1-a-\frac{1}{a}=1-\frac{-4a}{a}=5$.

16. 已知关于$x的方程(k+1)x^{k^2+1}+(k-3)\cdot x-1= 0$.
(1)当$k$取何值时,它是一元一次方程？
(2)当$k$取何值时,它是一元二次方程？

答案：
(1)
∵关于x的方程$(k+1)x^{k^{2}+1}+(k-3)x-1=0$是一元一次方程,
∴$\left\{\begin{array}{l} k+1=0,\\ k-3≠0\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} k^{2}+1=1,\\ k+1+k-3≠0,\end{array}\right. $解得$k=-1$或$k=0$.
∴当$k=-1$或$k=0$时,关于x的方程$(k+1)x^{k^{2}+1}+(k-3)x-1=0$是一元一次方程.
(2)
∵关于x的方程$(k+1)x^{k^{2}+1}+(k-3)x-1=0$是一元二次方程,
∴$\left\{\begin{array}{l} k^{2}+1=2,\\ k+1≠0,\end{array}\right. $解得$k=1$.
∴当$k=1$时,关于x的方程$(k+1)x^{k^{2}+1}+(k-3)x-1=0$是一元二次方程.

17. 新考法·新定义题 请阅读下面的材料：
问题：已知方程$x^2+x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为$y$,则$y= 2x$. $\therefore x= \frac{y}{2}$. 把$x= \frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^2+\frac{y}{2}-1= 0$. 化简,得$y^2+2y-4= 0$. $\therefore所求方程为y^2+2y-4= 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用材料提供的“换根法”求新方程(要求把所求方程化为一般形式)：
(1)已知方程$x^2+3x-2= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数.
(2)已知关于$x的一元二次方程ax^2+bx+c= 0(a\neq0)$有两个不为0的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.

答案：
(1)设所求方程的根为y,则$y=-x$.
∴$x=-y$.把$x=-y$代入已知方程,得$y^{2}-3y-2=0$.
∴所求方程为$y^{2}-3y-2=0$.
(2)设所求方程的根为y,则$y=\frac{1}{x}(x≠0)$.
∴$x=\frac{1}{y}(y≠0)$.把$x=\frac{1}{y}$代入已知方程,得$a(\frac{1}{y})^{2}+b\cdot \frac{1}{y}+c=0$.去分母,得$a+by+cy^{2}=0$.若$c=0$,则$ax^{2}+bx=0$,即$x(ax+b)=0$,可得有一个根为$x=0$,不符合题意.
∵方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个不为0的实数根,
∴$c≠0$.
∴所求方程为$cy^{2}+by+a=0(c≠0,a≠0)$.