《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

7. 如图,二次函数$y= ax^2+bx+c$的最大值为3,一元二次方程$ax^2+bx+c-m= 0$有实数根,则$m$的取值范围是(B)

A.$m\geq3$
B.$m\leq3$
C.$m\geq-3$
D.$m\leq-3$

答案： B

8. 已知$y= -x^2+(a-3)x+1是关于x$的二次函数,$x的取值范围是1\leq x\leq5$.
(1) 当$x= 1$时,$y$取得最大值,则$a$的取值范围是$a≤5$.
(2) 当$x= 1$时,$y$取得最小值,则$a$的取值范围是$a≥9$.

答案：
(1)$a≤5$
(2)$a≥9$

9. 已知抛物线$y= -x^2+mx+2m$,当$-1\leq x\leq2$时,对应的函数值$y$的最大值是6,求$m$的值.

答案： 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac {m}{2×(-1)}=\frac {m}{2}.$当$\frac {m}{2}＜-1$，即$m＜-2$时，在$-1≤x≤2$的范围中，y随x的增大而减小.
∴当$x=-1$时，$y=6.$
∴$-(-1)^{2}-m+2m=6$，解得$m=7$（不合题意，舍去）.当$-1≤\frac {m}{2}≤2$，即$-2≤m≤4$时，易得当$x=\frac {m}{2}$时，$y=6.$
∴$-(\frac {m}{2})^{2}+\frac {m^{2}}{2}+2m=6$，解得$m_{1}=-4+2\sqrt {10},m_{2}=-4-2\sqrt {10}$（不合题意，舍去）.当$\frac {m}{2}＞2$，即$m＞4$时，在$-1≤x≤2$的范围中，y随x的增大而增大，
∴当$x=2$时，$y=6.$
∴$-2^{2}+2m+2m=6$，解得$m=\frac {5}{2}$（不合题意，舍去）.综上所述，m的值为$-4+2\sqrt {10}.$

10. 已知二次函数$y= x^2-2ax+3$,当$1\leq x\leq3$时,函数的最小值为$2a$,求$a$的值.

答案： 函数图象的对称轴为直线$x=-\frac {-2a}{2×1}=a.$
① 若$a≤1$，则当$x=1$时，函数取得最小值，此时$1-2a+3=2a$，解得$a=1.$
② 若$1＜a＜3$，则当$x=a$时，函数取得最小值，此时$a^{2}-2a\cdot a+3=2a$，解得$a_{1}=1,a_{2}=-3$，都不合题意，舍去.
③ 若$a≥3$，则当$x=3$时，函数取得最小值，此时$9-6a+3=2a$，解得$a=\frac {3}{2}$（不合题意，舍去）.综上所述，a的值为1.