《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

8. (2024·辽宁)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y= ax^2+bx+3 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $,$ B $,点 $ B $ 的坐标为 $(3,0)$.若点 $ C(2,3) $ 在该抛物线上,则 $ AB $ 的长为4.

答案： 4

9. 设抛物线 $ l:y= ax^2+bx+c(a\neq0) $ 的顶点为 $ D $,与 $ y $ 轴的交点是 $ C $,我们称以 $ C $ 为顶点,且过点 $ D $ 的抛物线为抛物线 $ l $ 的“伴随抛物线”.抛物线 $ y= x^2-4x+1 $ 的“伴随抛物线”对应的函数解析式为$y=-x^2+1$.

答案： $y=-x^2+1$

10. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ AB= 4 $,点 $ D $ 的坐标为 $(0,-4)$,以 $ C $ 为顶点的抛物线 $ y= ax^2+bx+c(a\neq0) $ 经过 $ x $ 轴上的点 $ A $,$ B $,则抛物线对应的函数解析式为______$y=(x-4)^2-4$.

答案： $y=(x-4)^2-4$

11. 数形结合思想 如图,抛物线 $ y= ax^2+2x+c $ 经过点 $ A(-3,0) $,$ B(1,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,点 $ P $ 在直线 $ AC $ 下方的抛物线上,过点 $ P $ 作 $ PQ// y $ 轴,交 $ AC $ 于点 $ Q $,连接 $ PA $,$ PC $,设点 $ P $ 的横坐标为 $ m $.求：
(1)抛物线对应的函数解析式及点 $ C $ 的坐标.
(2)线段 $ PQ $ 长的最大值.
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答案： （1）根据题意,得$\begin{cases} 9a-6+c=0 \\ a+2+c=0 \end{cases}$,解得$\begin{cases} a=1 \\ c=-3 \end{cases}$.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=x^2+2x-3$.当$x=0$时,$y=-3$.
∴$C(0,-3)$.（2）设直线 AC 对应的函数解析式为$y=kx-3$.将$A(-3,0)$代入,得$-3k-3=0$,解得$k=-1$.
∴直线 AC 对应的函数解析式为$y=-x-3$.
∵$PQ// y$轴,点 P 的横坐标为 m,
∴$P(m,m^2+2m-3)$,$Q(m,-m-3)$.
∴$PQ=(-m-3)-(m^2+2m-3)=-m^2-3m=-\left(m+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}$.
∵$-1＜0$,$-3＜m＜0$,
∴当$m=-\dfrac{3}{2}$时,PQ 的长取得最大值,最大值为$\dfrac{9}{4}$.
∴PQ 长的最大值是$\dfrac{9}{4}$.

12. 已知 $ P(m,n) $ 为抛物线 $ y= ax^2-4ax+b(a\neq0) $ 上一动点.当 $ 1\leq m\leq4 $ 时,$ n $ 的取值范围是 $ 1\leq n\leq4 $,则抛物线对应的函数解析式为______$y=\dfrac{3}{4}x^2-3x+4$或$y=-\dfrac{3}{4}x^2+3x+1$.

答案： $y=\dfrac{3}{4}x^2-3x+4$或$y=-\dfrac{3}{4}x^2+3x+1$ 解析:① 若$a＜0$,则当$x=-\dfrac{-4a}{2a}=2$时,函数有最大值 4;当$x=4$时,函数有最小值 1.
∴$\begin{cases} 4a-8a+b=4 \\ 16a-16a+b=1 \end{cases}$,解得$\begin{cases} a=-\dfrac{3}{4} \\ b=1 \end{cases}$.此时抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{3}{4}x^2+3x+1$.② 若$a＞0$,则当$x=-\dfrac{-4a}{2a}=2$时,函数有最小值 1;当$x=4$时,函数有最大值 4.
∴$\begin{cases} 4a-8a+b=1 \\ 16a-16a+b=4 \end{cases}$,解得$\begin{cases} a=\dfrac{3}{4} \\ b=4 \end{cases}$.此时抛物线对应的函数解析式为$y=\dfrac{3}{4}x^2-3x+4$.综上所述,抛物线对应的函数解析式为$y=\dfrac{3}{4}x^2-3x+4$或$y=-\dfrac{3}{4}x^2+3x+1$.

13. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y= -x^2+2x+c $ 经过点 $ A(0,1) $,点 $ P $,$ Q $ 在此抛物线上,其横坐标分别为 $ m $,$ 2m(m＞0) $,连接 $ AP $,$ AQ $.
(1)求此抛物线对应的函数解析式.
(2)当点 $ Q $ 与此抛物线的顶点重合时,求 $ m $ 的值.
(3)当 $ \angle PAQ $ 的边与 $ x $ 轴平行时,求点 $ P $ 与点 $ Q $ 的纵坐标的差.
(4)设此抛物线在点 $ A $ 与点 $ P $ 之间部分(包括点 $ A $ 和点 $ P $)的最高点与最低点的纵坐标的差为 $ h_1 $,在点 $ A $ 与点 $ Q $ 之间部分(包括点 $ A $ 和点 $ Q $)的最高点与最低点的纵坐标的差为 $ h_2 $.当 $ h_2-h_1= m $ 时,直接写出 $ m $ 的值.
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答案： （1）
∵抛物线$y=-x^2+2x+c$经过点$A(0,1)$,
∴$c=1$.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2+2x+1$.（2）
∵$y=-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,2)$.
∵点 Q 与此抛物线的顶点重合,点 Q 的横坐标为$2m$,
∴$2m=1$,解得$m=\dfrac{1}{2}$.（3）① 当$AQ// x$轴时,点 A,Q 关于抛物线的对称轴直线$x=1$对称,则$x_Q=2m=2$.
∴$Q(2,1)$,$m=1$.当$x=1$时,$y=-1^2+2×1+1=2$.
∴$P(1,2)$.
∴点 P 与点 Q 的纵坐标的差为$2-1=1$.② 当$AP// x$轴时,点 A,P 关于抛物线的对称轴直线$x=1$对称,则$x_P=m=2$.
∴$P(2,1)$,$x_Q=2m=4$.当$x=4$时,$y=-4^2+2×4+1=-7$.
∴$Q(4,-7)$.
∴点 P 与点 Q 的纵坐标的差为$1-(-7)=8$.综上所述,点 P 与点 Q 的纵坐标的差为1或8.（4）$m=\dfrac{1}{3}$或$m=\dfrac{5}{4}$. 解析:① 如图①,当点 P,Q 都在抛物线的对称轴直线$x=1$的左侧时,$0＜2m＜1$,
∴$0＜m＜\dfrac{1}{2}$.
∵$P(m,-m^2+2m+1)$,
∴$Q(2m,-4m^2+4m+1)$.
∴$h_1=y_P-y_A=-m^2+2m+1-1=-m^2+2m$,$h_2=y_Q-y_A=-4m^2+4m+1-1=-4m^2+4m$.
∴$h_2-h_1=-4m^2+4m+m^2-2m=m$,解得$m=\dfrac{1}{3}$或$m=0$(不合题意,舍去).② 如图②,当点 P,Q 在抛物线的对称轴直线$x=1$的两侧或其中一点在对称轴上时,$2m\geq1$,$m\leq1$,即$\dfrac{1}{2}\leq m\leq1$.
∴$h_1=-m^2+2m$,$h_2=2-1=1$.
∴$h_2-h_1=1+m^2-2m=m$,解得$m=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$或$m=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$,都不合题意,舍去.③ 如图③,当点 P 在抛物线的对称轴直线$x=1$的右侧且在直线$y=1$的上方时,$1＜m＜2$,
∴$h_1=2-1=1$,$h_2=2-(-4m^2+4m+1)=4m^2-4m+1$.
∴$h_2-h_1=4m^2-4m+1-1=m$,解得$m=\dfrac{5}{4}$或$m=0$(不合题意,舍去).④ 如图④,当点 P 在直线$y=1$上或下方时,$m\geq2$,
∴$h_1=2-(-m^2+2m+1)=m^2-2m+1$,$h_2=2-(-4m^2+4m+1)=4m^2-4m+1$.
∴$h_2-h_1=4m^2-4m+1-(m^2-2m+1)=m$,解得$m=1$或$m=0$,都不合题意,舍去.综上所述,$m=\dfrac{1}{3}$或$m=\dfrac{5}{4}$.