《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

10. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y= ax^2+6$与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线$y= 2x^2$于B,C两点,则BC的长为______2√3.

答案： 2√3

11. 在平面直角坐标系中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1).如图,直线$y= \frac{1}{4}x$与抛物线交于A,B两点,直线l对应的函数解析式为$y= -1$.

(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)直线l上是否存在一点P,使$PA+PB$取得最小值？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)
∵抛物线的顶点坐标为(2,0)，
∴设抛物线对应的函数解析式为y=a(x-2)².
∵该抛物线经过点(4,1)，
∴1=a×(4-2)²,解得a=1/4.
∴抛物线对应的函数解析式为y=1/4(x-2)²=1/4x²-x+1.
(2)存在.
联立{y=1/4x, y=1/4x²-x+1, 解得{x₁=1, y₁=1/4, {x₂=4, y₂=1.
∴点A的坐标为(1,1/4),点B的坐标为(4,1).
作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值.
易知点B'的坐标为(4,-3).
设直线AB'对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0).
将A(1,1/4),B'(4,-3)代入y=kx+b,得{k+b=1/4, 4k+b=-3, 解得{k=-13/12, b=4/3.
∴直线AB'对应的函数解析式为y=-13/12x+4/3.
当y=-1时,-13/12x+4/3=-1,解得x=28/13.
∴当点P的坐标为(28/13,-1)时,PA+PB取得最小值.

12. 有下列关于二次函数$y= -(x-n)^2+n^2+1$(n为常数)的结论：①该函数的图象开口向下；②该函数的图象一定经过坐标轴上某个定点；③该函数图象的顶点在函数$y= x^2+1$的图象上；④当$0≤x≤1$时,若该函数有最大值2,则$n= ±1$.其中,正确的有(C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： C 解析:①
∵二次函数y=-(x-n)²+n²+1(n为常数)中a=-1＜0,
∴该函数图象开口向下.故①正确.②
∵在y=-(x-n)²+n²+1中,令x=0,则y=-n²+n²+1=1,
∴该函数的图象一定经过点(0,1).故②正确.③
∵函数图象开口向下,当x=n时,y有最大值n²+1,
∴该函数图象的顶点在函数y=x²+1的图象上.故③正确.④
∵y=-(x-n)²+n²+1,
∴函数图象的对称轴为直线x=n.若n＜0,则当0≤x≤1时,y有最大值1,不合题意,舍去;若0≤n≤1,则当0≤x≤1时,y有最大值n²+1,此时n²+1=2,解得n=1(负值舍去);若n＞1,则当0≤x≤1时,y有最大值2n,此时2n=2,解得n=1(不合题意,舍去).故④错误.综上所述,正确的有3个.

13. 如图,点$M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)在二次函数y= a(x-2)^2-1(a＞0)$的图象上,且$x_2-x_1= 3$.

(1)若二次函数的图象经过点(3,1).
①求这个二次函数的解析式.
②若$y_1= y_2$,求顶点到点M,N所在直线的距离.
(2)当$x_1≤x≤x_2$时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点M,N在图象的对称轴的异侧,求a的取值范围.

答案：
(1)①
∵二次函数y=a(x-2)²-1(a＞0)的图象经过点(3,1)，
∴1=a-1,解得a=2.
∴二次函数的解析式为y=2(x-2)²-1.
②
∵y₁=y₂，
∴点M,N关于抛物线的对称轴对称.
∵抛物线的对称轴是直线x=2,且x₂-x₁=3，
∴x₁=1/2,x₂=7/2.
当x=1/2时,y=2×(1/2-2)²-1=7/2.
易知抛物线的顶点坐标为(2,-1)，
∴当y₁=y₂时,顶点到点M,N所在直线的距离=7/2+1=9/2.
(2)由题意,得x₁≤2,x₂≥2,x₂-x₁=3.
∴x₂=x₁+3＞2.
∴x₁＞-1.
①当y₁≥y₂时,由题意,得(x₁+x₂)/2≤2.
∴x₁≤1/2.
∴-1＜x₁≤1/2.
∵函数的最大值为y₁=a(x₁-2)²-1,最小值为-1，
∴y₁-(-1)=1.
∴a=1/(x₁-2)².
∵-1＜x₁≤1/2，
∴-3＜x₁-2≤-3/2.
∴9/4≤(x₁-2)²＜9.
∴1/9＜a≤4/9.
②当y₁≤y₂时,x₁＜2，
由题意,得(x₁+x₂)/2≥2.
∵x₂-x₁=3，
∴x₁≥1/2.
∴1/2≤x₁＜2.
∵函数的最大值为y₂=a(x₂-2)²-1,最小值为-1，
∴y₂-(-1)=1.
∴a=1/(x₂-2)²=1/(x₁+1)².
∵1/2≤x₁＜2，
∴3/2≤x₁+1＜3.
∴9/4≤(x₁+1)²＜9.
∴1/9＜a≤4/9.
综上所述,a的取值范围是1/9＜a≤4/9.