《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点F,AC⊥BD,且AC= 8,BD= 8√3.若P是对角线BD上一动点,连接AP,将AP绕点A按逆时针方向旋转至AE处,使得∠PAE= ∠BAD,连接PE,取AD的中点O,连接OE.在点P的运动过程中,线段OE长的最小值为______2.

答案： 2　解析:连接ED.
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
∵AC=8,BD=8$\sqrt{3}$,
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=4,DF=$\frac{1}{2}$BD=4$\sqrt{3}$,BA=DA.
∴AD=$\sqrt{AF²+DF²}$=8.
∴易得∠ADB=∠ABD=30°.
∵将AP绕点A按逆时针方向旋转至AE处，使得∠PAE=∠BAD,
∴AP=AE,∠BAP=∠DAE.在△BAP和△DAE中，{BA=DA,∠BAP=∠DAE,AP=AE}，
∴△BAP≌△DAE.
∴∠ABP=∠ADE=30°.
∴DE是满足∠ADE=30°的线段.当OE⊥DE时,OE的长最小，
∵O是AD的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×8=4.
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$×4=2.
∴在点P的运动过程中，线段OE长的最小值为2.

典例2 如图,在平面直角坐标系中,□OABC的顶点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(6,2).
(1)□OABC的中心P的坐标为(3,1).
(2)求点A,P所在直线对应的函数解析式.
设点A,P所在直线对应的函数解析式为y=mx+b,则{4m+b=0,3m+b=1}，∴{m=−1,b=4}.∴点A,P所在直线对应的函数解析式为y=−x+4.
(3)求证：不论k取何值,□OABC都被直线y= kx+1-3k分成面积相等的两部分.
对于直线y=kx+1−3k,当x=3时,y=3k+1−3k=1,∴直线y=kx+1−3k经过点P(3,1).∴不论k取何值，□OABC都被直线y=kx+1−3k分成面积相等的两部分.

答案：
(1)(3,1).
(2)设点A,P所在直线对应的函数解析式为y=mx+b,则{4m+b=0,3m+b=1}，
∴{m=−1,b=4}.
∴点A,P所在直线对应的函数解析式为y=−x+4.
(3)对于直线y=kx+1−3k,当x=3时,y=3k+1−3k=1,
∴直线y=kx+1−3k经过点P(3,1).
∴不论k取何值，□OABC都被直线y=kx+1−3k分成面积相等的两部分.

[变式] 如图,正方形OABC的顶点B的坐标为(2,-2),D(m,0)(m＞2)为x轴上的一个动点,以BD为边作正方形BDEF,点E在第四象限.
(1)线段CD的长为______(用含m的代数式表示).
(2)试判断线段AD与CF之间的数量关系,并说明理由.
(3)设正方形BDEF的对称中心为点M,直线CM交y轴于点G,随着点D的运动,点G的位置是否会发生变化？若保持不变,请求出点G的坐标；若发生变化,请说明理由.

答案：

(1)m−2.
(2)AD=CF.
理由:
∵四边形OABC和四边形BDEF都是正方形，
∴AB=CB,BD=BF,∠ABC=∠FBD=90°.
∴∠ABD=∠CBF.
∴△ABD≌△CBF.
∴AD=CF.
(3)点G的位置保持不变.
如图，过点F作FH⊥CB,交CB的延长线于点H,过点M作MN⊥x轴,垂足为N.
∵∠BCD=∠DBF=∠H=90°,
∴∠CBD+∠FBH=90°,∠FBH+∠HFB=90°.
∴∠CBD=∠HFB.
∵BD=FB,
∴△BCD≌△FHB.
∴CD=HB=m−2,BC=FH=2.
∴F(4,−m).
∵D(m,0),点M是正方形BDEF 的对称中心，
∴M(2+$\frac{m}{2}$,−$\frac{m}{2}$).
在△CMN中,MN=$\frac{m}{2}$,CN=$\frac{m}{2}$,
∴△CMN是等腰直角三角形.
∴∠OCG=∠NCM=45°.
∴△OCG也是等腰直角三角形.
∴OG=OC=2.
∴G(0,2).
　　　

典例3 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-8,0),点B的坐标为(-4,3),将△OAB绕点O按顺时针方向旋转得到△OCD,点A的对应点C刚好落在AB的延长线上,则点B的对应点D的坐标为______.

答案：
(4,3)　解析:如图，连接BD,交y轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F.由旋转,得∠AOC=∠BOD,OC=OA,OD=OB.
∴∠OAC=∠OCA=$\frac{1}{2}$(180°−∠AOC),　∠OBD=∠ODB　=$\frac{1}{2}$(180°−∠BOD).
∴∠OAC=∠OBD.
∵A(−8,0),B(−4,3),
∴OA=8,OF=4,
∴AF=OA−OF=4.
∴AF=OF=4.
∴BF垂直平分OA,
∴AB=OB.
∴∠OAC=∠AOB.
∴　∠AOB　=∠OBD.
∴BD//x轴.
∴OE⊥BD.
∴DE=BE.
∵B(−4,3),
∴BE=4,OE=3.
∴DE=4.
∴点D的坐标为(4,3).
　　　

[变式] 分类讨论思想 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(0,6),B(8,6),C(8,0).点D(0,3)在OA上,点E(4,0)在OC上,连接DE.若将△DOE绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°＜α＜360°),得到△D'OE',连接AD',当∠AD'O= 90°时.
(1)α= ______.
(2)求点D',E'的坐标.

答案：

(1)60°或300°.　　解析:如图①,连接DD'.当∠AD'O=90°时，DD'=AD=DO=$\frac{1}{2}$AO=3.
∵DO=D'O=3,
∴DO=D'O=DD'.
∴∠DOD'=60°.
∴α=60°.如图②,连接DD',当∠AD'O=90°时,DD'=AD=DO=$\frac{1}{2}$AO=3.
∵DO=OD',
∴DO=OD'=DD'
∴∠DOD'=60°.
∴α=360°−60°=300°.综上所述,α=60°或300°.
(2)如图①,作D'F⊥x轴于点F,E'H⊥x轴于点H.
∵∠AD'O=90°,∠AOD'=60°,
∴∠D'AO=30°,∠D'OF=30°.
∴∠E'OH=60°.
∵OD'=OD=3,OE'=OE=4,
∴易得D'F=$\frac{3}{2}$,FO=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,OH=2,E'H=2$\sqrt{3}$.
∴D'(−$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$),E′(2,2$\sqrt{3}$)
如图②,同理,易得D'($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$),E'(2,−2$\sqrt{3}$).
综上所述,D'(−$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$),E′(2,2$\sqrt{3}$)或D'($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$),E'(2,−2$\sqrt{3}$).