《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 已知二次函数$y= 2(x+1)^2-2$.当$-4＜x\leq1$时,二次函数(A)
A.有最小值$-2$
B.有最大值16
C.有最大值6
D.有最大值1

答案： A

2. 若二次函数$y= -x^2-2x+c^2-2c在-3\leq x\leq2的范围内的最小值为-5$,则$c$的值为(A)
A.3或$-1$
B.$-1$
C.$-3$或1
D.3

答案： A

3. 已知二次函数$y= ax^2-4ax+3a^2-6$,当$x＜0$时,$y随x$的增大而减小,当$-1\leq x\leq3$时,$y$的最小值为1,求$a$的值.

答案：
∵二次函数$y=ax^{2}-4ax+3a^{2}-6=a(x-2)^{2}+3a^{2}-4a-6$，
∴易得函数图象的顶点坐标为$(2,3a^{2}-4a-6)$，对称轴为直线$x=2.$
∵当$x＜0$时，y随x的增大而减小，
∴图象开口向上，即$a＞0.$
∵当$-1≤x≤3$时，y的最小值为1，
∴顶点坐标为$(2,1).$
∴$3a^{2}-4a-6=1$，解得$a=\frac {7}{3}$或$a=-1.$
∵$a＞0$，
∴a的值为$\frac {7}{3}.$

4. 已知二次函数$y= x^2-2x+2在t\leq x\leq t+1范围内的最小值是t$,求$t$的值.

答案： 二次函数$y=x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1$，则其图象的顶点坐标为$(1,1).$分情况讨论：
① 若函数图象的顶点在直线$x=t+1$的右侧，有$t+1＜1$，即$t＜0$，则在该范围内y随x的增大而减小.
∴当$x=t+1$时，函数取得最小值.
∴$y_{最小}=(t+1)^{2}-2(t+1)+2=t$，化简得$t^{2}-t+1=0$，该方程无解.
② 若函数图象的顶点在直线$x=t$和直线$x=t+1$内（包含这两条直线），有$t≤1≤t+1$，解得$0≤t≤1$，则当$x=1$时，函数有最小值，$y_{最小}=1.$
③ 若函数图象的顶点在直线$x=t$的左侧，有$t＞1$，则当$t＞1$时，y随x的增大而增大.
∴当$x=t$时，函数取得最小值，$y_{最小}=t^{2}-2t+2=t$，解得$t=2$或$t=1$（不合题意，舍去）.综上所述，t的值为1或2.

5. (2024·浙江)已知二次函数$y= x^2+bx+c$($b,c$为常数)的图象经过点$A(-2,5)$,对称轴为直线$x= -\frac{1}{2}$.
(1) 求二次函数的解析式.
(2) 若点$B(1,7)$向上平移2个单位长度,向左平移$m(m＞0)$个单位长度后,恰好落在二次函数$y= x^2+bx+c$的图象上,求$m$的值.
(3) 当$-2\leq x\leq n$时,二次函数$y= x^2+bx+c的最大值与最小值的差为\frac{9}{4}$,求$n$的取值范围.

答案：
(1) 由题意，得$\left\{\begin{array}{l} -\frac {b}{2}=-\frac {1}{2},\\ (-2)^{2}-2b+c=5,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} b=1,\\ c=3.\end{array}\right. $
∴二次函数的解析式为$y=x^{2}+x+3.$
(2) 点$B(1,7)$向上平移2个单位长度，向左平移$m(m＞0)$个单位长度后得到点$(1-m,9).$由题意，可知点$(1-m,9)$在二次函数$y=x^{2}+x+3$的图象上.
∴$9=(1-m)^{2}+(1-m)+3$，解得$m=4$或$m=-1$（舍去）.
∴$m=4.$
(3)$y=x^{2}+x+3=(x+\frac {1}{2})^{2}+\frac {11}{4}.$当$n＜-\frac {1}{2}$时，最大值为当$x=-2$时的值，为$4-2+3=5$，最小值为当$x=n$时的值，为$n^{2}+n+3.$
∴最大值与最小值的差为$5-(n^{2}+n+3)=\frac {9}{4}$，解得$n_{1}=n_{2}=-\frac {1}{2}$，不符合题意，舍去.当$-\frac {1}{2}≤n≤1$时，最大值为当$x=-2$时的值，为5，最小值为当$x=-\frac {1}{2}$时的值，为$\frac {11}{4}.$
∴最大值与最小值的差为$5-\frac {11}{4}=\frac {9}{4}$，符合题意.当$n＞1$时，最大值为当$x=n$时的值，为$n^{2}+n+3$，最小值为当$x=-\frac {1}{2}$时的值，为$\frac {11}{4}.$
∴最大值与最小值的差为$(n^{2}+n+3)-\frac {11}{4}=\frac {9}{4}$，解得$n=1$或$n=-2$，不符合题意，舍去.综上所述，n的取值范围是$-\frac {1}{2}≤n≤1.$

6. 已知二次函数$y= x^2-2bx+5$（$b$为常数）,当$x\geq-1$时,$y$的最小值为1,则$b$的值为(D)
A.$-\frac{5}{2}$
B.2或$-2$
C.2或$-2或-\frac{5}{2}$
D.2或$-\frac{5}{2}$

答案： D