《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

1. 如图,AB 是⊙O 的直径,四边形 ABCD 内接于⊙O.若 BC= CD= DA= 4 cm,则⊙O 的直径 AB 为(D)

A.5 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
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答案： D

2. 如图,在⊙O 中,AB= 2CD,那么下列选项中,正确的是(A)

A.$\overset{\frown}{AB}＞2\overset{\frown}{CD}$
B.$\overset{\frown}{AB}＜2\overset{\frown}{CD}$
C.$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{CD}$
D.$\overset{\frown}{AB}与2\overset{\frown}{CD}$的大小关系无法确定
]

答案： A

3. 如图,AB 和 DE 是⊙O 的直径,AC//DE.若 BE= 6,则 CE= ______.
]

6

答案： 6

4. 如图,以□ABCD 的顶点 A 为圆心、AB 长为半径作⊙A,分别交 BC,AD 于点 E,F,交 BA 的延长线于点 G,连接 AE,EG.
(1)求证:$\overset{\frown}{EF}= \overset{\frown}{FG}$.
(2)若∠EAG= 140°,求∠D 的度数.
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答案： （1）
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠EAF=∠AEB，∠GAF=∠B.
∵AE=AB，
∴∠B=∠AEB.
∴∠EAF=∠GAF.
∴$\widehat{EF}$=$\widehat{FG}$.
（2）
∵∠EAG=140°，
∴∠EAF=∠GAF=70°.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB//CD.
∴∠D=∠GAF=70°.

5. 如图,在⊙O 中,若$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{AC}$,则下列关于弦 AB 与弦 AC 之间的关系中,正确的是(D)
A.AB= AC
B.AB= 2AC
C.AB＞2AC
D.AB＜2AC
答案讲解

答案： D

6. 如图,在扇形 OAB 中,∠AOB= 110°,将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠,点 O 恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点 D 处,折痕交 OA 于点 C,则$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数为(B)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
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答案： B 解析：连接 OD 交 BC 于点 E.
∵ 将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在$\widehat{AB}$上的点 D 处，折痕交 OA 于点 C，
∴ BC 垂直平分 OD.
∴ BD=BO.
∵ OB=OD，
∴BD=BO=DO.
∴△OBD 为等边三角形.
∴∠DOB=60°.
∴∠AOD=∠AOB - ∠DOB=110° - 60°=50°.
∴$\widehat{AD}$所对的圆心角的度数为 50°.

7. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是上半圆的一个三等分点(靠近点 A),D 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,P 是直径 AB 上的一个动点.若⊙O 的半径为 2,则 PC+PD 的最小值是$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$ 解析：作点 D 关于 AB 的对称点 E，连接 CE 交 AB 于点 P'，连接 OC，OE，DP'. 易知当点 P 在点 P'的位置时，PC + PD 的值最小，即为 CE 的长.
∵ C 是上半圆的一个三等分点（靠近点 A），
∴∠AOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°.
∵ D 是$\widehat{AC}$的中点，
∴ 易得∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°.
∴∠COE=∠AOC + ∠AOE=90°.
∴ 易得 CE=$\sqrt{2}$OC=$2\sqrt{2}$，即 PC + PD 的最小值是$2\sqrt{2}$.

8. 如图,半圆 O 的直径 AB= 3,弦 AC 与弦 BD 相交于点 E,OD⊥AC,垂足为 F,AC= BD,则弦 AC 的长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

答案： $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 解析：连接 OC.
∵ OD⊥AC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，∠AFO=90°，AC=2AF. 又
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，即$\widehat{AD}$+$\widehat{CD}$=$\widehat{CD}$+$\widehat{BC}$.
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$.
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$.
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.
∵AB=3，
∴AO=BO=$\frac{3}{2}$.
∴ 易得 AF=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
∴AC=2AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.