《2025年拔尖特训九年级数学上册人教版》

10. 如图,正方形$EFGH$的顶点在边长为 2 的正方形$ABCD$的边上. 设$AE= x$,正方形$EFGH的面积为y$,求$y关于x$的函数解析式.

答案：
如图，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴∠A=∠B=90°.
∴∠1+∠2=90°.
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠HEF=90°，EH=FE.
∴∠1+∠3=90°.
∴∠2=∠3.在△AHE和△BEF中，{∠A=∠B,∠2=∠3,EH=FE}，
∴△AHE≌△BEF.
∴AE=BF=x，AH=BE=2-x.在Rt△AHE中，由勾股定理，得EH²=AE²+AH²=x²+(2-x)²=2x²-4x+4.
∴y=2x²-4x+4(0＜x＜2).

11. 如图,等腰直角三角形$ABC的直角边的长与正方形MNPQ$的边长均为 20 cm,$AC与MN$在同一条直线上,开始时点$A与点N$重合,让$\triangle ABC$以 2 cm/s 的速度向左运动,当点$A与点M$重合时,$\triangle ABC$停止运动,$AB交QM于点H$.
(1) 求$\triangle ABC与正方形MNPQ重叠部分的面积y(cm^2)与点A的运动时间t(s)之间的函数解析式和自变量t$的取值范围.
(2) 当$t= 1$时,求重叠部分的面积.
(3) 当$y= 72$时,求$t$的值.

答案： （1）
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴易得重叠部分也是等腰直角三角形，即△AMH是等腰直角三角形.由题意，得AN=2t cm.
∴AM=MN-AN=(20-2t)cm.
∴MH=AM=(20-2t)cm.
∴y=1/2(20-2t)²=2t²-40t+200，自变量t的取值范围是0≤t≤10.（2）
∵当t=1时，y=2×1²-40×1+200=162，
∴重叠部分的面积为162cm².（3）当y=72时，1/2(20-2t)²=72，解得t=4或t=16(不合题意，舍去).
∴t=4.

12. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle BAD= \angle ACB= 90^\circ$,$AB= AD$,$AC= 4BC$. 设$CD的长为x$,四边形$ABCD的面积为y$,则$y与x$之间的函数解析式为(C)
A.$y= \frac{2}{25}x^{2}$
B.$y= \frac{4}{25}x^{2}$
C.$y= \frac{2}{5}x^{2}$
D.$y= \frac{4}{5}x^{2}$

答案： C 解析：过点D作DE⊥AC于点E.设BC=a，则AC=4a.
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90°.又
∵∠BAD=90°，
∴易得∠BAC=∠ADE.又
∵∠ACB=∠DEA=90°，AB=DA，
∴△ABC≌△DAE.
∴BC=AE=a，AC=DE=4a.
∴EC=AC-AE=4a-a=3a.在Rt△DEC中，DC=√(EC²+DE²)=5a，
∴x=5a，即a=1/5x.
∴y=1/2×a×4a+1/2×4a×4a=10a²=2/5x²，即y与x之间的函数解析式为y=2/5x².

13. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 10\ cm$,$BC= 20\ cm$,动点$E$,$F同时从点B$出发,分别沿$BA$,$BC的方向向终点A$,$C$运动,点$E$的速度是 1 cm/s,点$F$的速度是 2 cm/s,当一点到达终点时,两点同时停止运动. 设运动时间为$t\ s$,四边形$DAEF的面积为S\ cm^2$.
(1) 请写出$S与t$之间的函数解析式：______$S=-t²+10t+100$______(不要求写出自变量$t$的取值范围).
(2) 当$\triangle DEF$为等腰三角形时,求$t$的值.$t=(-5+5√21)/2$或$10√21-40$

答案： （1）S=-t²+10t+100.（2）由勾股定理，可得EF²=BE²+BF²=t²+(2t)²=5t²(cm²)，DF²=CD²+CF²=10²+(20-2t)²=(4t²-80t+500)cm²，DE²=AE²+AD²=(10-t)²+20²=(t²-20t+500)cm².①当DE=DF时，DE²=DF²，即t²-20t+500=4t²-80t+500，解得t₁=0，t₂=20，都不合题意，舍去.②当DE=EF时，DE²=EF²，即t²-20t+500=5t²，解得t₃=(-5-5√21)/2(不合题意，舍去)，t₄=(-5+5√21)/2.③当EF=DF时，EF²=DF²，即5t²=4t²-80t+500，解得t₅=10√21-40，t₆=-10√21-40(不合题意，舍去).综上所述，当△DEF为等腰三角形时，t=(-5+5√21)/2或10√21-40.